Enunciado

Em um processo adiabático envolvendo um gás ideal, (a) mostre que o módulo de elasticidade volumétrico é dado por

B = - V d p d V = γ p

Em que γ = C P / C V . (b) Mostre que a velocidade do som no gás é dada por

v s = γ p ρ = γ R T M

Em que ρ é a massa específica, T é a temperatura e M é a massa molar do gás.

Passo 1

(a) Em uma tranformação adiabática temos a seguinte relação:

p V γ = c o n s t a n t e

O que podemos reescrever como:

p V γ = A         ⇒         p = A V - γ

Se substituirmos isso na expressão que foi dada no enunciado:

B = - V d p d V = - V d d V A V - γ

Resolvendo essa derivada:

B = - V   A   - γ V - γ - 1 = γ A   V V - γ V - 1

B = γ ( A V - γ )

Mas perceba que o termo entre parênteses é justamente a expressão que escrevemos para p , então:

B = γ p

Passo 2

(b) Vamos dar uma olhada na segunda expressão:

v s = γ p ρ

E usando o fato de que o gás é ideal, podemos escrever:

p = n R T V

Onde n = m / M :

p = m R T M V

Então:

v s = γ ρ m R T M V

E a massa específica é ρ = m / V :

v s = γ ( m / V ) m R T M V = γ R T M

Que é exatamente a expressão que queríamos demonstrar.

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

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