Enunciado

Uma corda uniforme de massa m e comprimento L está pendurada em um teto. (a) Mostre que a velocidade de uma onda transversal na corda é função de y , a distância da extremidade inferior, e é dada por v = g y , (b) Mostre que o tempo que uma onda transversal leva para atravessar a corda é dado por t = 2 L / g   .

Passo 1

Fala galerinha bonita, tudo belejóia?

Nesse exercício aqui vamos precisar lembrar da equação da velocidade dada como:

v = T μ

Então tá, queremos achar a velocidade de uma onda transversal em uma corda de massa m pendurada no teto, sem nada na ponta, só a corda mesmo.

Olhando pra fórmula, nosso objetivo fica bem claro: precisamos da tensão e da massa específica linear.

Passo 2

Então tá, vamos imaginar um ponto que esteja a uma distância y da ponta solta da corda. Quais forças agem sobre ele?

Bom, pra começar, a gente sabe que o ponto está parado, então a soma das forças tem que ser zero.

Puxando ele pra baixo, tem o peso de toda a parte da corda que está abaixo dele. Como calculamos esse peso?

P = m g

Mas a massa é simplesmente o produto m = μ y , ou seja, a massa específica linear vezes o comprimento abaixo do ponto:

P = μ g y

Ok, e puxando ele pra cima? Bom, tem uma tensão exercida pela parte de cima da corda, que tem que ser igual a esse peso pra manter o equilíbrio, ou seja:

T = P = μ g y

Passo 3

Agora vamos substituir isso na fórmula da velocidade:

v = T μ

v = μ g y μ

v = g y

Pronto, está provado o que a questão pediu.

Passo 4

(b) Agora queremos saber quando tempo uma onda leva pra atravessar a corda (de comprimento L ).

Preste atenção no seguinte, a fórmula que acabamos de achar diz que a velocidade não é constante ao longo da corda! Quando mais longe da ponta solta, mais rápida a onda é.

Então não podemos usar uma fórmula como essa:

v = Δ x Δ t

Por que essa fórmula só vale quando a velocidade é constante, ou quando queremos a velocidade escalar média mesmo.

Então o que resta? Já que a velocidade muda a cada instante, vamos lembrar a fórmula da velocidade instantânea:

v = d x d t

Passo 5

Vamos colocar um y no lugar de x , só pra manter a nomenclatura, e reorganizar a fórmula:

d t = d y v

Agora integrando dos dois lados, o termo da esquerda vai virar o intervalo de tempo que queremos, e o terceiro vai ser uma integral definida de 0 até L :

Δ t = ∫ 0 L d y v

Δ t = ∫ 0 L d y g y

Agora vamos resolver essa integral!

Primeiro tirando a constante:

Δ t = 1 g . ∫ 0 L d y y

Agora vamos escrever a raiz de outro jeito pra ficar mais fácil de integral:

Δ t = 1 g ∫ 0 L y - 1 / 2 d y

Agora é só seguir a regra geral pra integrar uma potência:

Δ t = 1 g 2 L - 2 0

Δ t = 1 g 2 L

E então:

Δ t = 2 L g

Pronto! Provamos a outra fórmula.

Resposta

Demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma onda senoidal transversal se propaga em corda no sentido positivo de um eixo x com uma velocidade de 80m / s . No instante t = 0 , uma partícula da corda situada em x = 0 possui um deslocamento tr
A tensão em um fio preso nas duas extremidades é duplicada sem que o comprimento do fio sofra uma variação apreciável. Qual é a razão entre a nova e a antiga velocidade das ondas transversais que se p
A corda mais pesada e a corda mais leve de um certo violino têm uma massa específica linear de 3,0 e 0,29g / m , respectivamente. Qual é a razão entre o diâmetro da corda mais leve e o da corda mais p
A velocidade de uma onda transversal em uma corda é 170m / s quando a tensão da corda é 120N . Qual deve ser o valor da tensão para que a velocidade da onda aumente para 180m / s ?
Uma onda transversal senoidal se propaga em uma corda no sentido negativo de um eixo x . A figura mostra um gráfico do deslocamento em função da posição no instante t = 0 ; a escala do eixo y é defini