Um projétil é lançado para cima em um ângulo de 70° com a horizontal e atinge o chão a uma certa distância horizontal. Com a mesma rapidez no momento do lançamento, para que outro valor de ângulo de lançamento esse projétil teria o mesmo alcance?

Passo 1

Estamos lidando com o alcance do projétil posto em movimento oblíquo, conforme a equação para o movimento horizontal do corpo(MU), temos que:

A = v x t A   ( i )

Para o movimento vertical:

v y = v 0 y - g t

Considerando apenas o movimento de subida do corpo, podemos dizer que em t = t s , v y = 0 . Usando ainda que v 0 y = v 0 s e n θ ficamos com:

v 0 y = g t s → t s = v 0 s e n θ g

Para calcular o alcance, precisamos do tempo total do movimento t A = 2 t s :

t A = 2 v 0 s e n θ g

Substituindo em ( i ) :

A = v 0 2   2 c o s θ s e n θ g = v 0 2   s e n 2 θ g

Passo 2

No problema, queremos comparar o alcance A 1 e A 2 de dois movimentos cuja velocidade de lançamento inicial é a mesma. Sendo o ângulo de lançamento do projétil em cada movimento e θ 1 = 70 ° e θ 2 , respectivamente, chegamos em:

s e n ( 2 θ 1 ) = s e n ( 2 θ 2 ) → s e n ( 140 ° ) = s e n ( 2 θ 2 )

Para resolver a igualdade de senos temos duas opções:

2 θ 2 = 140 ° ou 2 θ 2 = 180 ° - 140 °

  θ 2 = 70 ° ou θ 2 = 20   °

Resposta

Um ângulo de 20° produziria o mesmo alcance.

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