Enunciado

(a) Quanta carga é necessária para aumentar o potencial de uma esfera metálica isolada de 1,0 m de raio para um potencial de 1,0 MV? Admita que V = 0 no infinito. Repita para uma esfera de 1,0   c m de raio. (b) Por que utiliza-se uma esfera grande em um acelerador eletrostático quando um mesmo potencial pode ser obtido com a utilização de uma carga menor em uma esfera menor? (Sugestão: Calcule as densidades de carga.)

Passo 1

(a) Aplique a fórmula de carga pontual, mas resolva para a carga. Então

1 4 π ϵ 0 q r = V

q = 4 π ϵ 0 r V

q = 4 π 8.85 × 10 - 12 C 2 / N ⋅ m 2 ( 1 m ) 10 6 V = 0.11 m C .

Agora que é uma taxa relativamente pequena. Mas se o raio fosse diminuído por um fator de 100, a carga também diminuiria (1,10 μC). Consequentemente, bolas de metal menores podem ser elevadas a potenciais mais altos com menos carga.

Passo 2

(b) O campo elétrico perto da superfície da bola é uma função da densidade de carga da superfície, E = σ / ϵ 0 . Mas a densidade de carga da superfície depende da área e varia como r - 2 . Para um dado potencial, o campo elétrico perto da superfície seria então dado por

E = σ ϵ 0 = q 4 π ϵ 0 r 2 = V r

Observe que o campo elétrico cresce à medida que a bola fica menor. Isso significa que é mais provável que o campo de quebra seja excedido com uma pequena bola de baixa tensão; você terá faíscas.

Resposta

a. Consequentemente, bolas de metal menores podem ser elevadas a potenciais mais altos com menos carga.

b. Isso significa que é mais provável que o campo de quebra seja excedido com uma pequena bola de baixa tensão; você terá faíscas.

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