Enunciado

Quatro tijolos de comprimento L, iguais e homogêneos, são empilhados (Fig. 12-69) de tal forma que parte de cada um se estenda além da superfície na qual está apoiado. Determine, em função de L, o valor máximo de (a) , (b) a 2 , (c) a 3 , (d) a 4 e (e) h para que a pilha fique em equilíbrio.

Passo 1

Bom, esse é um problema de estática. Para que qualquer sistema esteja em equilíbrio, é necessário que o seu centro de gravidade esteja dentro da área de apoio. Caso contrário, o sistema cai. Então a gente tem que achar a distância máxima de desalinhamento dos livros fazendo com o sistema continue em equilíbrio.

Passo 2

Vamos começar analisando a figura de cima pra baixo. Para que o livro de cima esteja em equilíbrio, o seu cento de gravidade (que está no meio dele) não pode passar da borda do livro de baixo. Então, a distância máxima que a 1 pode assumir é de L / 2 . Já temos a resposta do primeiro item

(a) a 1 = L / 2

Passo 3

Agora, vamos analisar o equilíbrio do segundo livro (contando de cima pra baixo). O sistema agora é formado pelos dois primeiros livros, sendo que o primeiro está deslocado L / 2 com relação ao segundo. Assim, o centro de gravidade do sistema é uma contribuição do centro de gravidade dos dois livros. Então, a sua posição é, com relação a borda esquerda do segundo livro, fica

x c m = m 2 L 2 + m 1 L 2 + a 1 m 1 + m 2 = 3 L 4

Onde m 1 e m 2 representam as massas dos livros 1 e 2, respectivamente, e que são iiguais. Assim, o máximo que o livro 2 pode se deslocar antes do centro de gravidade se desalinhar com a borda do livro 3 é

(b) a 2 = L - x c m = L / 4

Passo 4

Vamos agora pro livro debaixo. O nosso sistema é formado pelos três primeiros livros, e queremos achar a posição máxima de deslocamento do terceiro, a 3 , para que ele fique em equilíbrio. A posição de centro de massa com relação ao livro 3 fica, então,

x c m = m 3 L 2 + m 2 L 2 + a 2 + m 1 L 2 + a 2 + a 1 m 1 + m 2 + m 3 = 5 L 6

Logo, o máximo que o livro 3 pode se deslocar é

(c) a 3 = L - x c m = L / 6

Passo 5

Já deu pra perceber a lógica, né? É só replicar agora pro livro debaixo, considerando agora o sistema formado pelos 4 primeiros livros. O centro de massa então fica

x c m = m 4 L 2 + m 3 L 2 + a 3 + m 2 L 2 + a 3 + a 2 + m 1 L 2 + a 3 + a 2 + a 1 m 1 + m 2 + m 3 + m 4 = 7 L 8

Assim, o máximo que o livro 4 pode se deslocar é

(d) a 4 = L - x c m = L / 8

Passo 6

Esse é o item mais tranquilo. Basta somar o deslocamento de todos os livros. Fica assim

(e) h = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 25 L 24

Resposta

Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta

(a) a 1 = L / 2

(b) a 2 = L - x c m = L / 4

(c) a 3 = L - x c m = L / 6

(d) a 4 = L - x c m = L / 8

(e) h = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 25 L 24

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