Enunciado

O raio R b e a massa M b de um buraco negro estão relacionadas através da equação R b = 2 G M b / c 2 , onde c é a velocidade da luz. Suponha que a aceleração gravitacional a g de um objeto a uma distância r a do centro do buraco negro é dado pela Eq. 13-11 (o que é verdade para buracos negros grandes). (a) Determine o valor de a g a uma distância r a em termos de M b . (b) O valor de a g à distância r a aumenta ou diminui quando M b aumenta? (c) Quanto vale a g _a distância r a para um buraco negro muito grande cuja massa é 1,55 × 10 12 vezes a massa solar de 1,99 × 10 30 k g ? (d) Se um astronauta com 1,70 m de altura está à distância r a com os pés voltados para o buraco negro, qual é a diferença entre a aceleração da gravidade da cabeça e dos pés? (e) A astronauta sente algum desconforto?

Passo 1

Este problema divide-se em vários itens, mas é bem tranquilo. Vamos lá! Pra começar, a aceleração da gravidade é dada por uma equação que a gente já tá careca de saber, Basta plugar a distância dada pela equação dos buracos negros. Fica assim então

a g = G M b r 2 = G M b 2 G M b / c 2 2

Substituindo as constantes pelos valores numéricos, a gente tem (a) a g = 3,02 × 10 43 k g m / s 2 / M b

Passo 2

Analisando a influência de M b , a gente percebe que quando ele aumenta, a g diminui; e vice-versa. Isso já responde a letra (b).

Passo 3

Plugando os valores na equação que a gente chegou na letra (a), a gente fica com

a g = 3,02 × 10 23 k g m / s 2 1,55 × 10 12 1,99 × 10 30 k g = 9,82 m / s 2

Passo 4

Pra achar a diferença de aceleração entre os pés e a cabeça, a gente pode pegar a equação da aceleração da gravidade e derivar. Com isso a gente fica com d a g em função de d r . Essa variação é bastante válida quando d r é bem pequeno. Lembrando que “pequeno” é relativo. No nosso caso, a altura de um ser humano é muito pequena comparada com as dimensões de um buraco negro. Então, derivando e substituindo os valores do problema e d r = 1,70 m , a gente tem

d a g = - 2 G M r 3 d r

Passo 5

Como essa variação gravitacional é muito pequena, o astronauta nem deve sentir cosquinha com isso.

Resposta

(a) a g = 3,02 × 10 43 k g m / s 2 / M b

(b) Analisando a influência de M b , a gente percebe que quando ele aumenta, a g diminui; e vice-versa.

(c) a g = 9,82 m / s 2

(d) Uma variação de 7,30 × 10 - 15 m / s 2

(e) O astronauta não deve sentir nenhum desconforto com essa variação pequena de gravidade.

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