Enunciado

A razão impulso-peso inicial de um foguete é τ 0 = F i m p m 0 g , onde F i m p é o impulso do foguete e m 0 é sua massa inicial, incluindo o combustível. (a) Para um foguete lançado diretamente para cima, da superfície da terra, mostre que τ 0 = 1 + a 0 g , onde a 0 é a aceleração inicial do foguete. Em um vôo tripulado, τ 0 não pode ser maior do que 4 para conforto e segurança dos astronautas. (Quando o foguete é lançado, os astronautas se sente τ 0 vezes mais pesados que o normal.) (b) Mostre que a velocidade final de um foguete lançado da superfície da Terra pode, em termos de τ 0 e de I (veja o problema 96), ser escrita como:

v f = g I ln ⁡ m 0 m f - 1 τ 0 1 - m f m 0

onde m f é a massa do foguete (não incluindo o combustível gasto). c) Usando uma planilha de calculo ou uma calculadora gráfica, faça o gráfico de v f em função da razão entre as massas m 0 m f , para I = 250 s   e τ 0 = 2 , com os valores da razão de massas variando de 2 até 10 . (Note que a razão de massas não pode ser menor do que 1.) (d) Para colocar um foguete em órbita, é necessária uma velocidade final v f = 7,0 k m / s quando da queima total. Calcule a razão de massas necessária para colocar em órbita um foguete de estágio único, usando os valores do impulso específico e da razão impulso-peso dadas na parte (c). Por questões de engenharia, é difícil construir um foguete com uma razão de massas muito maior do que 10 . Isso lhe sugere por que foguetes de múltiplos estágios são normalmente usado para colocar cargas em órbita ao redor da Terra?

Passo 1

  1. A equação para a força que atua no foguete é:

- m g + R u e x = m a

F i m p = R u e x

- m g + F i m p = m a

No momento do lançamento:

F i m p = m 0 a 0 + m 0 g

F i m p m 0 g = 1 + a 0 g

τ 0 = 1 + a 0 g

Passo 2

b) A velocidade final pode ser calculada pela equação:

v f = u e x ln ⁡ m 0 m f - g t q   ( * )

Onde t q é o tempo de queima.

t q = m 0 - m f R = m 0 R 1 - m f m 0

Multiplicando em cima e embaixo por g F i m p :

t q = g F i m p g F i m p m 0 R 1 - m f m 0

t q = g m 0 F i m p F i m p g R 1 - m f m 0

t q = I τ 0 1 - m f m 0  

Substituindo isso em * :

v f = u e x ln ⁡ m 0 m f - g I τ 0 1 - m f m 0

Do problema 96, u e x = g I . Substituindo e fatorando, obtemos:

v f = g I ln ⁡ m 0 m f - 1 τ 0 1 - m f m 0

Passo 3

c) Aqui, vamos precisar da ajuda das planilhas. Eu fiz aqui em um programa de planilhas jogando todos os dados que temos e ele montou esse gráfico.

Passo 4

d) Substituindo os dados da parte (c) na equação que obtivemos na parte (b):

7 k m s = 9.81 m s 2 × 250 s × ln ⁡ m 0 m f - 1 2 1 - m f m 0

2.584 = ln ⁡ m 0 m f - 0.5 + 0.5 m 0 m f

Para resolver isso, precisamos de uma calculadora gráfica. Jogando essa equação lá, vamos obter:

m 0 m f = 28

Que é um valor muito maior que o valor 10 dado como máximo possível pela questão.

Resposta

m 0 m f = 28

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