Enunciado

Recentemente, um antigo projeto de máquina térmica, conhecida como a máquina de Stirling, foi anunciado como uma maneira de se produzir potencia a partir da energia solar. O ciclo de uma máquina de Stirling é o seguinte: (1) compressão isotérmica do gás, (2) aquecimento do gás a volume constante, (3) expansão isotérmica do gás e (4) resfriamento do gás a volume constante. (a) Esboce os diagramas P V e S T para o ciclo de Stirling. (b) Determine a variação da entropia do gás, em cada etapa do ciclo e mostre que a soma dessas variações de entropia é igual a zero.

Passo 1

a) Ele quer os diagramas PV e ST, vamos começar pelo PV. Ele tem no eixo vertical a pressão e no horizontal o volume. Aí vemos como a pressão e o volume variam em cada processo.

- Em (1) temos a compressão isotémica do gás. Significa que o nosso gráfico nesse intervalo é uma curva com concavidade para cima (representando temperatura constante T q ), e que tem o sentido da direita para esquerda, porque o gás está diminuindo de volume.

- Em (2) o gás aquece a volume constante. Isso quer dizer que temos um segmento de reta na vertical, indicando que o volume não muda.

Ao aquecer o gás e manter seu volume, nós agitamos mais as moléculas que ficam confinadas, então a pressão aumenta. Por isso, o sentido desse processo no gráfico é de baixo para cima.

- Em (3) temos uma expansão isotérmica, novamente temos uma curva que representa a temperatura constante, mas agora que vale T f , e o sentido da curva é da esquerda para a direita, porque o volume do gás aumenta durante o processo.

- Para finalizar, em (4) temos um resfriamento a volume constante. Novamente vamos ter uma reta vertical, mas com o sentido de cima para baixo porque o resfriamento causa diminuição da pressão.

Com essas características, o gráfico P V vai ficar assim:

Passo 2

Agora vamos para o ST: Ele tem no eixo vertical a entropia e no horizontal a temperatura. Aí vemos como a entropia e a temperatura variam em cada processo.

- Em (1) temos a compressão isotémica do gás. Ou seja, a temperatura fica constante em T q , então vamos ter uma reta vertical, representando que a temperatura não mudou.

E que sentido tem essa reta? Vou te dar um bizu (que vamos ver a justificação ali na frente): se há uma compressão isotérmica, a variação de entropia do gás é negativa. Então nossa setinha fica para baixo.

- Em (2) o gás aquece a volume constante. Lembrando que a variação de entropia é proporcional a troca de calor, se ele aquece a volume constante, a variação de entropia é positiva, porque o gás está recebendo calor e não o está transformando em trabalho.

Aí nesse intervalo, teremos uma curva com concavidade para cima (parecida com a curva isotémica do PV), com sentido apontando de S menor para S maior (de baixo para cima).

- Em (3) temos uma expansão isotérmica. Ou seja, a temperatura fica constante em T f , então vamos ter uma reta vertical, representando que a temperatura não mudou. O sentido é de baixo para cima porque temos uma situação inversa ao processo (1).

Na expansão isotérmica, a entropia aumenta.

- Para finalizar, em (4) temos um resfriamento a volume constante. Novamente vamos ter uma curva, mas agora a setinha aponta para baixo, porque o calor está saindo do gás.

Com essas características, o gráfico S T vai ficar assim:

Passo 3

b) Agora vamos olhar a entropia de cada etapa.

Os processos 1 → 2 e 3 → 4 são isotérmicos, e para um processo isotérmico,

Δ S = n R l n V f i n a l V i n i c i a l

Então:

Δ S 12 = n R l n V 2 V 1

Δ S 34 = n R l n V 4 V 3

Mas lá do gráfico PV, a gente vê que V 2 = V 3 e V 1 = V 4 !

Δ S 34 = n R l n V 1 V 2 = - n R l n V 2 V 1

Passo 4

Os processos 2 → 3 e 4 → 1 são isovolumétricos, e para um processo isovolumétrico, podemos lembrar que

Δ S = ∫ d Q T

E podemos escrever d Q = c v d T

Δ S = ∫ T i n i c i a l T f i n a l n c v d T T

Δ S = n c v ln ⁡ T f i n a l T i n i c i a l

Então,

Δ S 23 = n c v ln ⁡ T f T q

Mas percebe no diagrama ST que a temperatura final de 4-1 é T q e a inicial é T f , então:

Δ S 41 = n c v ln ⁡ T q T f = - n c v ln ⁡ T f T q

Passo 5

Agora a gente soma todas pra achar a variação de entropia do ciclo!

Δ S = Δ S 12 + Δ S 23 + Δ S 34 + Δ S 41

Δ S = n R l n V 2 V 1 + n c v ln ⁡ T f T q - n R l n V 2 V 1 - n c v ln ⁡ T f T q

Δ S = 0

Como a gente queria demonstrar!

Resposta

a)

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