Enunciado

Um relógio de pêndulo marca a hora certa na superfície da Terra. Em qual caso o erro será maior: se o relógio for levado para uma mina de profundidade h , ou se ele for levantado até uma altura h ? Prove sua resposta e suponha h ≪ R T .

Passo 1

Falaaa! O erro no relógio ocorre quando o seu período do pêndulo muda, aí ele marca a hora errado. Vamos relembrar a expressão do período de um pêndulo simples:

T = 2 π L g

Percebe que L é uma característica geométrica do pêndulo. Então o que pode variar quando a gente muda de posição em relação ao centro da Terra (como o enunciado descreve) é o campo gravitacional g .

Então o que a gente precisa ver é que situação vai me dar um g mais diferente do g na superfície da Terra, a situação onde a gente está dentro da Terra ou fora dela.

Considerando que a Terra é uma esfera homogênea, o campo gravitacional em um ponto distante r do seu centro é

g = M G r 2

A massa M é a massa da porção da Terra que está abaixo da altitude do relógio.

Passo 2

Vamos ver como se comporta a aceleração da gravidade conforme a profundidade do relógio varia. Na superfície da Terra, a distância r é o próprio raio da Terra. Vamos chamar a aceleração da gravidade de g 0 :

g 0 = G M R T 2

A massa da esfera que temos abaixo dessa altitude é a própria massa da Terra, por isso M = M T :

g 0 = G M T R T 2

Já para quando estamos a uma altitude de h em relação a superfície da Terra, temos r = R T + h . Mas repara que a massa de Terra abaixo dessa altitude não se altera, continua sendo M T , a massa total da Terra

g d e s = G M T R T + h 2

Para a situação onde estamos a uma profundidade h , teremos que r = R T - h . Mas aqui, a porção de massa abaixo dessa altitude muda, porque estamos dentro da Terra. Então M fica sendo a massa da esfera que tem a mesma massa específica da Terra, mas com raio menor.

g s u b = G M s R T - h 2

Passo 3

Lembra que queremos comparar g s u b e g d e s com g 0 . Então vamos escrever M T e M s em função da massa específica da Terra que vamos considerar constante.

Temos que

ρ = M T V → M T = ρ V

Sendo que temos uma esfera, logo

V = 3 4 π R T 2

Logo

M T = ρ 3 4 π R T 2

E para M s usamos a mesma massa específica, mas o raio agora é r = R T - h porque estamos dentro da Terra

ρ = M s V → M s = ρ V

M s = ρ 3 4 π R T - h 2

Então nossas gravidades ficam

g 0 = G M T R T 2 → g 0 = G ρ 3 4 π R T 2 R T 2

g d e s = G ρ 3 4 π R T 2 R T + h 2

g s u b = G ρ 3 4 π R T - h 2 R T - h 2

Agora é comparar para ver quem é mais diferente de g o .

Passo 4

Então vamos começar com a aceleração da gravidade g s u b quando o relógio desce por uma distância h :

g s u b = G ρ 3 4 π R T - h 2 R T - h 2

E vamos calcular a seguinte razão:

g s u b g 0 = G 4 3 π ρ R T - h 3 R T - h 2   R T 2 G 4 3 π ρ R T 3

Isso é para achar que parcela de g 0 , g s u b representa.

Agora vamos simplificar essa expressão:

g s u b = g 0 R T - h R T

g s u b = g 0 1 - h R T

Passo 5

Agora vamos analisar o caso em que o relógio é elevado por h :

g d e s = G ρ 3 4 π R T 2 R T + h 2

Fazendo a razão para encontrar que parcela de g 0 , g d e s representa

g d e s g 0 = G ρ 3 4 π R T 2 R T + h 2 R T 2 G ρ 3 4 π R T 2

g d e s g 0 = R T 2 R T + h 2

g d e s = g 0 1 1 + h R T 2

Passo 6

Ok, agora vamos comparar os dois resultados:

g d e s = g 0 1 1 + h R T 2

g s u b = g 0 1 - h R T

Quando maior for o desvio da nova aceleração da gravidade em relação a g 0 para um mesmo h , maior será o erro.

Olhando para as equações, é podemos ver que esse desvio será maior no caso de g d e s , que depende do quadrado de h . Então o erro é maior no caso em que a o relógio é elevado.

Você também pode testar isso chutando um valor para h / R T . Temos que h é uma profundidade, então com certeza ela é menor que R T . Sendo assim podemos dizer que

h R T < 1

Aí se a gente chutar que

h R T < 0,5

Nossas expressões ficam

g d e s = g 0 1 1 + 0,5 2 → g d e s = g 0 1 1 + 0,5 2 → g d e s = 0,44 g 0

g s u b = g 0 1 - h R T → g s u b = g 0 1 - 0,5 → g s u b = 0,5 g 0

Percebe que a maior diferença acontece em g d e s mesmo, como a gente pensou antes.

Resposta

O erro será maior se o relógio for levantado até uma altura h .

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