Enunciado

A figura mostra um pêndulo de comprimento L com uma bolinha de massa m . A bolinha é presa a uma mola de constante de força k , como mostrado. Quando a bolinha está diretamente abaixo do suporte do pêndulo, a mola está frouxa. (a) Deduza uma expressão para o período de oscilação do sistema para pequenas amplitudes de vibração. (b) Suponha que M = 1,00   k g e L tal que, na ausência da mola, o período é 2,00   s . Qual é a constante de força k , se o período de oscilação do sistema é 1,00   s ?

Passo 1

a) Ele quer uma expressão para o período de oscilação desse pêndulo que tem influência da mola.

Vamos começar com um diagrama da situação quando o pêndulo está deslocado por um ângulo θ em relação à vertical:

Vamos supor (como aproximação), que o pêndulo (a bolinha azul) permanece em uma mesma linha horizontal já que temos pequenas amplitudes de vibração ( θ máximo é bem pequeno), então as forças em y devem estar em equilíbrio, e teremos apenas uma aceleração a x na horizontal.

Pelo equilíbrio, teremos

∑ F y = T cos ⁡ θ - M g = 0

∑ F x = - k x - T sen ⁡ θ = M a x

Pela primeira equação, temos que:

T = M g cos ⁡ θ

Substituindo isso na segunda:

- k x - M g cos ⁡ θ sen ⁡ θ = M a x

- k x - M g tan ⁡ θ = M a x

Passo 2

Vamos mexer um pouco nessa equação que encontramos.

Podemos relacionar a aceleração a x com o ângulo θ , lembrando lá de movimento circular.

A aceleração angular da bolinha azul é

α = d 2 θ d t 2

Podemos achar a aceleração a x na direção da trajetória multiplicando isso pelo raio da trajetória, que é aproximadamente L :

a x = L d 2 θ d t 2 = L θ ¨

Assim, substituindo na equação

- k x - M g tan ⁡ θ = M a x

- k x - M g tan ⁡ θ = M L θ ¨

Passo 3

Lembra que θ em bem pequeno, então a coordenada x com o mesmo ângulo θ pode ser aproximada por um arco. A dimensão de um arco é ângulo vezes raio, então podemos escrever:

x = L θ

(não colocamos o sinal de menos aqui porque já o consideramos na hora de escrever a força na equação de equilíbrio)

E considerando pequenos ângulos, podemos usar a seguinte aproximação:

tan ⁡ θ ≅ θ

Agora vamos substituir tudo isso na equação do passo anterior

- k x - M g tan ⁡ θ = M L θ ¨

- k L θ - M g θ = M L θ ¨

M L θ ¨ + M g + k L θ = 0

θ ¨ + M g + k L M L θ = 0

Isso é uma equação diferencial porque relaciona uma grandeza e sua derivada.

Passo 4

Essa é a equação diferencial tá igualzinha à equação do oscilador harmônico, que nós já conhecemos bem. Ela tem essa cara:

θ ¨ + ω 2 θ = 0        

A solução geral segue a seguinte forma:

θ t = A cos ⁡ ( ω t + B )

Onde ω é a frequência angular. Comparando essa forma geral com a nossa equação, concluímos que:

ω = M g + k L M L = g L + k M

E como a relação entre o período e a frequência angular é T = 2 π / ω , o período de pequenas oscilações do nossos sistema é:

T = 2 π g L + k M

Como o enunciado pediu!

Passo 5

b) Na ausência da mola temos k = 0 , de forma que a equação final do item anterior fica

T = 2 π g L → g L = 2 π T

Se nesse caso o período é 2,00   s , então:

g L = 2 π 2

g L = π

g L = π 2

Passo 6

E então, no caso em que o período é T = 1,00   s e a massa é M = 1,00     k g , e há presença da mola, teremos:

T = 2 π g L + k M

1,00 = 2 π π 2 + k ( 1,00 )

Repara que substituímos g L = π 2 ali, beleza?

Podemos resolver essa equação para encontrar a constante de força k :

π 2 + k ( 1,00 ) = 4 π 2 1,00 2

k = 4 π 2 - π 2

k = 29,6   N / m

Resposta

(a) T = 2 π g L + k M .

(b) k = 29,6   N / m .

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