Enunciado

9 . (Repetição de problema do Capítulo 13 , Oscilador harmônico.) Ao oscilar forçado pela mola, o cilindro visto na figura 14.9 rola sobre o piso, girando livremente em torno do seu eixo. A ) Escreva a lagrangeana do sistema. B ) Calcule a frequência natural do oscilador. (Observe como a solução é mais simples pelo método de Lagrange.)

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão!

Para escrever a Lagrangeana do sistema temos que saber a energia cinética e potencial desse sistema, já que:

L = T - U

Para descrever o problema vamos usar a coordenada generalizada x , que é a distância do centro de massa do cilindro em relação ao ponto onde a mola está presa, já que só com ela conseguimos descrever a posição do cilindro.

Como o cilindro descreve um movimento de translação do centro de massa e de rotação ao mesmo tempo, temos que a energia cinética seguinte forma:

T = 1 2 M v 2 + 1 2 I ω 2

Nesse caso só temos a energia potencial elástica da mola, que é da seguinte forma:

U = 1 2 k d 2

Onde d é o quanto a mola foi deformada, então temos que escrever essas equações em termos da nossa coordena generalizada x .

Para achar a frequência de oscilação desse pêndulo, teremos que escrever a equação de Lagrange para a coordenada x e analisar o que temos, a equação de Lagrange é da seguinte forma:

d d t d L d q ˙ - d L d q = 0

Vamos ao trabalho!

Passo 2

Primeiro vamos mexer com a energia cinética, temos o seguinte:

T = 1 2 M v 2 + 1 2 I ω 2

Em um movimento de rotação temos que ω = v R , assim temos:

T = 1 2 M v 2 + 1 2 I v 2 R 2

⇒ T = 1 2 M + I R 2 v 2

Lembrando que v = d x d t = x ˙ , temos:

T = 1 2 M + I R 2 x ˙ 2

Passo 3

Agora vamos mexer com a energia potencial, temos o seguinte:

U = 1 2 k d 2

Onde esse d acaba sendo igual a posição x do cilindro menos o comprimento natural da mola, assim:

U = 1 2 k ( x - l ) 2

Então a Lagrangena fica da seguinte forma:

L = 1 2 M + I R 2 x ˙ 2 - 1 2 k ( x - l ) 2

Passo 4

Agora vamos escrever a equação de Lagrange para x . Vamos calcular cada parte da equação separadamente depois juntamos tudo.

d d t d L d x ˙ - d L d x = 0

Primeiro vamos calcular d L d x ˙ , temos:

d L d x ˙ = M + I R 2 x ˙

Agora vamos calcular d d t d L d x ˙ , então:

d d t d L d x ˙ = M + I R 2 x ¨

Agora por último d L d x , temos:

d L d x = - k ( x - l )

Juntando tudo temos:

M + I R 2 x ¨ + k ( x - l ) = 0

Passo 5

Vamos mexer um pouco nessa equação que encontramos.

M + I R 2 x ¨ + k ( x - l ) = 0

⇒ x ¨ + k M + I R 2 x - k M + I R 2 l = 0

Essa equação se parece com a equação do oscilador harmônico, então temos que a frequência angular é dada por:

ω 0 = k M + I R 2

E usando que ω 0 = 2 π f , temos que a frequência de oscilação é:

f = 1 2 π k M + I R 2

E com isso terminamos essa questão!

Resposta

A )

L = 1 2 M + I R 2 x ˙ 2 - 1 2 k ( x - l ) 2

B )

f = 1 2 π k M + I R 2

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