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Uma roda de 42,0 cm de diâmetro, que consiste de uma borda e seis raios, é feita de um material plástico rígido, porém fino, com densidade de massa linear de 25,0 g/cm. Essa roda é

libertada do repouso no topo de uma colina de 58,0 m de altura.

a) Com que velocidade ela está rolando quando atinge a base da colina?

b) Em que a sua resposta mudaria, se a densidade de massa linear e o diâmetro da roda fossem duplicados?

Passo 1

Considerando m r = λ 2 π R a massa do aro, m s = λ R a massa de cada raio, então

I = I a r o + I r a i o

O momento linear de cada raio é I = 1 3 M R 2 .

Passo 2

Usando o principio de conservação da energia:

U 1 + K 1 = U 2 + K 2

m g h = 1 2 m v 2 2 + 1 2 I ω 2 2

Como I = I a r o + I r a i o é

I = m r R 2 + 6 ( 1 3 m s R 2 )

I = ( m r + 2 m s ) R 2

Sendo m = m r + m s = λ 2 π R + λ R . Logo,

m = ( π + 3 ) 2 λ R

Passo 3

Substituindo,

m g h = 1 2 m v 2 2 + 1 2 I ω 2 2

π + 3 2 λ R ) g h = 1 2 ( π + 3 2 λ R ) v 2 2 + 1 2 ( λ 2 π R + λ R   ) ω 2 2

Organizando, temos

ω = 2 g h π + 3 - R 2 π R 2 π + 3 + R 2

Substituindo os dados, teremos que

ω = 148,9   r a d / s

Como a velocidade é dada por ω = v R

v = ω × R

v = 0,21 × 148,9 = 31,27   m / s

Se a densidade de massa linear e o diâmetro da roda fossem duplicados, como a velocidade angular é inversamente proporcional ao R, o ω se reduz a metade. Assim o v da relação v = ω × R é inalterado.

Resposta

a) v = 31,27   m / s .

b) o v permanece inalterado.

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