Enunciado

Acelerômetro. A Figura 5.76 mostra um sistema que pode ser usado para medir a sua aceleração. Um observador que caminha sobre a plataforma mede o ângulo θ que o fio que sustenta a bola leve forma com o plano vertical. Não há atrito em nenhum ponto.

a) Como θ se relaciona com a aceleração do sistema?

b) Se m 1 = 250   k g e m 2 = 1250   k g , qual é o ângulo θ ?

c) Se você pode variar m 1 e m 2 , qual é o maior ângulo θ a ser atingido? Explique como você deve ajustar m 1 e m 2 para isso.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! O enunciado nos dá o seguinte sisteminha:

Esse sisteminha é usado para medir a sua aceleração a partir do ângulo θ . A parada aqui é descobrir como ele acha a de θ . Vamos ao diagrama de forças para a bola:

Na vertical, onde não temos movimento, temos que:

T   c o s θ = P

T c o s θ = m g

Na horizontal, onde temos movimento, temos pela segunda lei de newton que

T s e n θ = m a

E dividindo uma equação pela outra teremos uma relação entre o ângulo e a aceleração:

T s e n θ T c o s θ = m a m g

t g θ = a g

Assim teremos:

a = g t g θ

Passo 2

b) Ele nos deu os dados das massas do sistema para acharmos θ . O diagrama de forças para a massa m 2 é:

Na vertical temos:

n = m 2 g

E na horizontal, pela segunda lei de newton:

T = m 2 a

E para a outra massa o diagrama fica:

E como essa massa m 1 está se movimentando para baixo, a segunda lei dá:

m 1 g - T = m 1 a

Agora substituindo a tensão encontrada do diagrama de forças da massa m 2 nessa equaç��o aqui de cima temos:

m 1 g - m 2 a = m 1 a

m 1 g = a m 1 + m 2

m 1 m 1 + m 2 = a g

Mas daí você se pergunta: onde está o a relação do ângulo nessa história toda? Dá uma espiadela no resultado lá do passo anterior: a g = t g θ ! Daqui, se substituirmos ali em cima, vamos ter uma relação entre as massas e o ângulo! Bora fazer?

m 1 m 1 + m 2 = t g θ

t g θ = 250 250 + 1250

θ = t g - 1 0,166 = 9,46 °

Passo 3

c) Cara, achamos no passo anterior que:

m 1 m 1 + m 2 = t g θ

Daí tiramos que θ depende de m 1 e m 2 . Vamos variar essas massas para achar o maior ângulo possível. Temos dois casos possíveis extremos:

- Caso 1: se a massa m 2 for muito maior que m 1 . Nesse caso, nosso numerador fica muito pequeno e nosso denominador muito grande, o que faz t g   θ tender a zerar.

Como t g 0 = 0 , não teremos o ângulo máximo nesse caso. E isso vale também se m 1 for muito pequeno.

- Caso 2: se m 1 for muito maior que m 2 . (ou se m 2 for muito pequena). Nesse caso, a divisão tende a 1. Como t g 45 ° = 1 , nosso ângulo máximo é 45 ° .

Então temos que:

θ = 45 °

Resposta

a )   a = g t g θ

b )   θ = 9,46 °

c )   θ = 45 °

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