Enunciado

São dados três vetores deslocamentos em metros: d → 1 = 4,0 i ^ + 5,0 j ^ - 6,0 k ^ , d → 2 = - 1,0 i → + 2,0 j → + 3,0 k → e d → 3 = 4,0 i ^ + 3,0 j ^ + 2,0 k ^ . (a) Determine r → = d → 1 - d → 2 + d → 3 . (b) Determine o ângulo entre r → e o semi-eixo z positivo. (c) Determine a componente de d → 1 em relação a d → 2 . (d) Qual é a componente de d → 1 que é perpendicular a d → 2 e está no plano de d → 1 e d → 2 ?

Passo 1

Falaa aii galerinha bonita, tudo beleza? Saca só, na letra (a), pra gente calcular o vetor r → = d → 1 - d → 2 + d → 3 fazemos:

r → = 4,0 i ^ + 5,0 j ^ - 6,0 k ^ - - 1,0 i ^ + 2,0 j ^ + 3,0 k ^ + 4,0 i ^ + 3,0 j ^ + 2,0 k ^

r → = 9,0 i ^ + 6,0 j ^ - 7,0 k ^

E agora pra gente calcular o ângulo que esse vetor faz com o semi-eixo positivo z , vamos precisa lembrar da relação do ângulo entre dois vetores a → e b → , dada como:

cos ⁡ θ = a → ⋅ b → a b

O vetor a → é o vetor que encontramos:

a → = r → = 9,0 i ^ + 6,0 j ^ - 7,0 k ^

a = 12,9

Enquanto que o vetor b → será o semi-eixo positivo z :

b → = 0 i ^ + 0 j ^ + k ^

b = 1

Portanto:

cos ⁡ θ = 9,0 i ^ + 6,0 j ^ - 7,0 k ^ ⋅ 0 i ^ + 0 j ^ + k ^ 12,9 1

cos ⁡ θ = - 7,0 12,9

θ = arccos ⁡ - 7,0 12,9

θ = 122,9 °

Passo 2

Agora no item (c), temos que calcular o ângulo entre as componentes d → 1 e d → 2 , tal que:

cos ⁡ ϕ = d → 1 ⋅ d → 2 d 1 d 2

Onde:

d → 1 = 4,0 i ^ + 5,0 j ^ - 6,0 k ^

d 1 = 8,77

d → 2 = - 1,0 i ^ + 2,0 j ^ + 3,0 k ^

d 2 = 3,74

Logo:

cos ⁡ ϕ = 4,0 i ^ + 5,0 j ^ - 6,0 k ^ ⋅ - 1,0 i ^ + 2,0 j ^ + 3,0 k ^ 8,77 3,74

cos ⁡ ϕ = - 12 32,8

Portanto:

ϕ = arccos ⁡ - 12 32,8

ϕ = 111,5 °

Resposta

  1. r → = 9,0 i ^ + 6,0 j ^ - 7,0 k ^
  2. θ = 122,9 °
  3. ϕ = 111,5 °
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O vetor a na Figura 3.24 tem módulo a = 5,0 m. Escreva a representação analítica de a no sistema de eixos da figura.
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