Enunciado

Um satélite orbita o Sol com período de translação de 1,0 dia. Qual é o raio da órbita?

Passo 1

Vamos analisar o movimento do satélite em torno do Sol:

Sabemos que o satélite fica orbitando o Sol, que vai exercer uma força gravitacional sobre o satélite. O módulo dessa força F → é:

F = G M S o l m s r 2

Onde M S o l é a massa do Sol, m s é a massa do satélite, G é a constante gravitacional e r é a distância entre o Sol e o satélite.

Como o satélite fará uma trajetória circular em torno do Sol, r acaba sendo o raio dessa trajetória.

Da mesma forma, como estamos em um movimento circular, temos uma força que vai desempenhar o papel de força centrípeta, que aponta para o centro da trajetória. Nesse caso, a única força que aponta para o centro da trajetória é a força gravitacional, logo ela será a nossa força centrípeta!!

A força centrípeta é dada por F c = m v 2 / r , onde m é a massa da partícula e v é a velocidade. Nesse caso, então, teremos:

F = F c

G M S o l m s r 2 = m s v 2 r

Mas também sabemos que v = 2 π r T , onde T é o período da trajetória, dado no enunciado como T = 1   d i a = ( 24 ∙ 3600 ) s . Assim:

G M S o l m s r 2 = m s 2 π r T 2 r

G M S o l m s r 2 = m s 4 π 2 r 2 T 2 r

Podemos cortar m s e arrumar a fração:

G M S o l r 2 = 4 π 2 r 2 r T 2

Isolando r :

r 3 = T 2 G M S o l 4 π 2

Assim:

r = 24 ∙ 3600 2 ( 6,67 ∙ 10 - 11 ) ( 1,99 ∙ 10 30 ) 4 π 2 3

Fazendo essa conta:

r = 2,9 ∙ 10 9   m

Resposta

r = 2,9 ∙ 10 9   m

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