Enunciado

Um segmento retilíneo de fio de comprimento L transporta uma corrente i. Mostre que o módulo do campo magnético B produzido por este segmento, a uma distância R do segmento ao longo de sua mediatriz (veja a Fig.31-37), é

B = μ 0 i 2 π R L L 2 + 4 R 2 1 / 2

Mostre que esta expressão se reduz a um resultado esperado quando L → ∞ .

Passo 1

Fala galera, bora lá! Suponha que o fio esteja sobre o eixo z , com a origem localizada no meio do fio. A lei de Biot e Savart

d B = μ 0 i 2 π   d z × r r 3 = μ 0 i 4 π sin ⁡ θ r 2   d z

Observando que

r = z 2 + R 2

sin ⁡ θ = R r = R z 2 + R 2

Passo 2

Encontramos sem muito trabalho que

B = μ 0 i 4 π R ∫ - L / 2 L / 2 d z z 2 + R 2 3 / 2

B = μ 0 i 4 π R L L 2 + 4 R 2

Passo 3

Para L ≫ R , podemos ignorar o termo R 2 obtendo B   = µ 0 i 2 π R , que é o campo de um fio muito comprido. Para pontos muito próximos do fio, ele comporta-se como um fio muito comprido.

Resposta

B = μ 0 i 4 π R L L 2 + 4 R 2

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