Enunciado

Um sistema completa um ciclo que consiste em seis etapas quase-estáticas, realizando um trabalho total de 100 J. Durante a etapa 1 o sistema absorve 300 J de calor de um reservatório a 300 K, durante a etapa 3 o sistema absorve 200 J de calor de um reservatório a 400 K e durante a etapa 5 ele absorve o calor de um reservatório à temperatura T 3 . (Durante as etapas 2, 4 e 6, o sistema sofre processos adiabáticos nos quais a temperatura do sistema passa da temperatura de um dos reservatórios para o seguinte).

  1. Qual é a variação da entropia do sistema para o ciclo completo?
  2. Se o ciclo é reversível, qual é a temperatura T 3 ?

Passo 1

a) Ele quer a variação de entropia para um ciclo. Podemos pensar que um ciclo é um conjunto de processos reversíveis, porque a gente sai de um ponto com características de estado iniciais e volta nesse ponto com as mesmas características.

E por isso, o próprio ciclo é um processo reversível.

Para processos reversíveis, a variação de entropia depende de variações que acontecem somente em relação ao estado final do ciclo em comparação ao estado inicial.

Mas a gente acabou de falar que para um ciclo, os estados final e inicial são idênticos, logo não há variações nas caraterísticas entre esses dois pontos. Por isso podemos dizer que a variação de entropia do ciclo completo é nula

∆ S c i c l o = 0

Passo 2

b) Vamos para a b. Antes de começar, precisamos sinalizar que há um erro de digitação na questão. Na etapa 5 o sistema libera calor a um reservatório. Se não for assim, o problema não pode ser resolvido, tá?

A variação de entropia para processos reversíveis também tem uma fórmula que relaciona o calor trocado em um reservatório no processo por Q e a temperatura do reservatório T . É essa aqui:

∆ S = Q T

Como os processos 2, 4 e 6 são adiabáticos (não há troca de calor), vamos ter Q = 0 , logo eles não contribuem para a variação da entropia. Então a soma das variações de entropias do ciclo (variação total do ciclo) é

∆ S c i c l o = Q 1 T 1 + Q 3 T 3 + Q 5 T 5

Vimos no item a) que essa variação será igual a 0:

Q 1 T 1 + Q 3 T 3 + Q 5 T 5 = 0

Como ele chama a temperatura do reservatório 5 de T 3 , vamos reescrever as temperaturas dos reservatórios das etapas 1,2 3, de T 1 ,   T 2 e T 3 , respectivamente

Q 1 T 1 + Q 3 T 2 + Q 5 T 3 = 0

Passo 3

Só precisamos achar os valores dessa equação com os sinais corretos.

Se o sistema gera trabalho, o reservatório quente perde calor (sinal negativo) para a máquina e o frio recebe calor (sinal positivo) da máquina. E de forma geral, a máquina recebe calor Q q da fonte quente e libera calor Q f para a fonte fria e trabalho e W . Aí podemos escrever para máquina:

Q f + W = Q q   i

Aí na fase 1, o reservatório deu calor ao sistema, então ele perdeu calor, assim Q 1 = - 300   J e T 1 = 300 K .

Na fase 3, acontece o mesmo, então Q 3 = - 200   J e T 2 = 400   K .

Na fase 5, precisamos refletir. Se o sistema libera calor ao reservatório, esse reservatório é o frio. Então vamos dizer que

Q f = Q 5

E a gente viu que a fonte quente liberou Q 1 e Q 3 , então:

Q q = Q 1 + Q 3 = 300 + 200 = 500   J

Aqui a gente não usa o sinal de menos porque estamos pensando em relação a máquina e não em relação aos reservatórios.

E o enunciado diz que o trabalho liberado foi de W = 100   J . Podemos substituir essas coisas em i , para achar Q 3 :

Q f + W = Q q

Q 5 + 100 = 500

Q 5 = 400   J

E como a gente está considerando que esse calor está sendo liberado pela máquina, ela é absorvida pelo reservatório, então fica positivo mesmo.

Jogando na fórmula do passo 2 os valores do problema:

Q 1 T 1 + Q 3 T 2 + Q 5 T 3 = 0

- 300   J 300   K + - 200   J 400   K + 400   J T 3 = 0

T 3 = 267   K

Resposta

  1. ∆ S c i c l o = 0 ;
  2. T 3 = 267   K .
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