Enunciado

Supondo que os números de prótons e nêutrons na Terra sejam iguais, calcule a fração f de seus elétrons que a Terra teria que perder para desintegrar-se, ou seja, para que a sua auto energia negativa gravitacional fosse neutralizada pela sua auto-energia positiva eletrostática. Suponha que a carga elétrica esteja uniformemente distribuída no corpo da Terra.

Passo 1

Na seção 16.2 do livro foi deduzida a expressão para a auto-energia eletrostática para uma casca esférica de raio R uniformemente carregada com uma carga Q :

V = 3 5 ⋅ Q 2 4 π ϵ 0 R = 3 5 k Q 2 R

Já para a auto-energia gravitacional de uma esfera com mesmo raio e massa M , temos que

V = - 3 5 ⋅ G M 2 R

Essa expressão foi calculada no capítulo 11 do livro (primeiro volume). A ideia por trás dela é a mesma da energia eletrostática: lembre-se que a da gravitação de Newton tem a mesma estrutura da lei de Coulomb!

Para que as duas energias se anulem:

3 5 k Q 2 R - 3 5 ⋅ G M 2 R = 0 → k Q 2 = G M 2

Agora precisamos escrever Q e M em termos da fração pedida no problema.

Passo 2

A Terra é originalmente neutra, com o número de prótons sendo igual ao número de elétrons. Nesse caso, Q = 0 . Vamos chamar de N o número inicial de prótons (que será igual ao número de nêutrons e elétrons).

Como vamos perder uma fração f de elétrons, o número dessas partículas negativas perdidas será

N e l e t r o n s   p e r d i d o s = f N

Com isso, teremos um excesso de f N prótons com relação aos elétrons, de forma que a carga passa a ser

Q = f N e

Lembre-se que e = 1,6 ⋅ 10 - 19   C é a carga elementar de um próton.

Já para a massa, vamos desprezar os elétrons. Sabemos que os prótons e nêutrons têm massa praticamente iguais, de modo que podemos escrever

M = 2 N ⋅ m P

Nessa última relação, m P = 1,67 ⋅ 10 - 27   k g é a massa do próton. Com isso,

k f N e 2 = G 2 N m P 2 → f = m p e 4 G k

Daí é só fazer conta:

f = 1,67 ⋅ 10 - 27 1,6 ⋅ 10 - 16 4 ⋅ 6,7 ⋅ 10 - 11 9 ⋅ 10 9

Portanto,

f = 1,8 ⋅ 10 - 18

Resposta

f = 1,8 ⋅ 10 - 18

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