Enunciado

Suponha que 1 m o l de um gás monoatômico ideal inicialmente à pressão p 1 e ocupando um volume V 1 seja submetido sucessivamente a dois processos: ( 1 ) uma expansão isotérmica até um volume 2 V 1 e ( 2 ) um aumento de pressão a volume constante até uma pressão 2 p 1 .

Qual é o valor de Q / p 1 V 1

( a ) para o processo 1 e

( b ) para o processo 2 ?

Qual é o valor de W / p 1   V 1

( c ) para o processo 1 e

( d ) para o processo 2 ?

Para o processo completo, qual é o valor

( e ) de Δ E i n t / p 1 V 1

e ( f ) de Δ S ?

O gás retorna ao estado inicial e é levado ao mesmo estado final, mas desta vez através dos seguintes processos sucessivos: ( 1 ) uma compressão isotérmica até a pressão de 2 p 1 e ( 2 ) um aumento de volume até um volume de 2 V 1 à pressão constante.

Qual é o valor de Q / p 1 V 1

( g ) para o processo 1 e

( h ) para o processo 2 ?

Qual é o valor de W / p 1   V 1

( i ) para o processo 1 e

( j ) para o processo 2 ?

Para o processo completo, qual é o valor

( k ) de Δ E i n t / p 1 V 1 e

( l ) de Δ S ?

Passo 1

Olá pessoal, essa é uma questão bem longa. Então toma fôlego aí e vem comigo resolver!

Antes de começar vou colocar aqui duas informações que vamos usar sempre: n = 1 e g = 3 . Bora começar?

Vou também fazer um desenho para as letras a - ( f ) pra ficar melhor de entender:

Analisando o primeiro gráfico, tiramos as seguintes informações dos estados A ,   B   e   C :

A : T 1 , p 1 ,   V 1

B : p b ,   2 V 1 ,   T 1

C : 2 p 1 ,   2 V 1 ,   T c

Feito isso, a primeira coisa a fazer é analisar o processo 1 . Ele é isotérmico, então Δ E i n t = 0 . Então da primeira lei temos:

Q = W = n R T 1 ln ⁡ V 2 V 1

Agora da lei geral dos gases temos:

p 1 V   1 = n R T 1

Assim podemos substituir a temperatura ali em cima:

Q = n R .   p 1 V 1 n R . ln ⁡ ( 2 )

Sendo assim a razão Q / p 1 V 1 é:

Q p 1 V 1 = l n ⁡ ( 2 )

Passo 2

Para determinar a mesma razão, mas agora olhando pro processo dois ( A → B do gráfico): temos que ele é isocórico, ou seja com W = 0 . Então o calor vai ser dado por:

Q = n C P Δ T = n C P ( T c - T b )

Mas sabemos que T b = T 1 = p 1 V 1 n R , agora precisamos determinar a temperatura T c .

Pela lei dos gases, comparando os estados A e C do gráfico, temos:

p 1 V 1 T 1 = 2 p 1 . 2 V 1 T c

Daqui tiramos que: T c = 4 T 1 .

Já o C P é dado por

C P - C V = R → C P = R + C V = R + 3 2 R

C P = 5 2 R

Agora podemos volta ao calor Q :

Q = n . 5 2 R . 4 T 1 - T 1 = 15 2 n R T 1 = 15 2 p 1 V   1

Agora o valor da razão Q / p 1 V 1 é:

Q p 1 V 1 = 15 2

Passo 3

Em um processo isotérmico, Δ E i n t = 0 então Q = W , assim, copiando o resultado do Passo 1 , no qual Q = W , então a razão que o problema pede é:

Q p 1 V 1 = ln ⁡ 2 = W p 1 V 1

Passo 4

Já para o processo 2 é diferente, pois ele é isocórico! E isso quer dizer que o trabalho é zero! Então a razão W p 1 V 1 é zero.

Passo 5

Agora queremos saber a variação da energia interna para o processo completo. Sendo assim, a variação da energia interna total vai ser a soma das variações de cada processo. Como no processo 1 Δ E i n t 1 = 0 (pois é isotérmico), então a variação de energia interna total vai ser só dado pelo processo 2 .

Sabendo que é um processo isocórico, então W = 0 e da primeira lei temos:

Δ E i n t = Q

Agora dá uma espiada no Passo 2 . Já calculamos esse calor! Assim teremos:

Δ E i n t = Q = 15 2 p 1 V   1

E a razão Δ E i n t / p 1 V 1 é:

Δ E i n t p 1 V 1 = 15 2

Passo 6

A a variação de entropia? Bom, ela devemos também separar nos dois processos:

  1. Isotérmico:
  2. Δ S 1 = ∫ d Q T = 1 T ∫ d Q = Q T  

    Como já calculamos o calor desse processo

    Δ S 1 = p 1 V 1 ln ⁡ 2 T 1 = R T 1 ln ⁡ 2 T 1 = R ln ⁡ 2

    Δ S 1 = R ln ⁡ 2

  3. Isocórico (lembrando que T b = T 1 e T c = 4 T 1 ):

Δ S 2 = ∫ d Q T

Como o processo é isovolumétrico d Q = n C V d T = C V d T ( n = 1 )

Δ S 2 = ∫ C P d T T = C P ln ⁡ T c T a = 3 2 R ln ⁡ 4 T a T a = 3 2 R ln ⁡ 4 = 3 2 R ln ⁡ 2 2 = 3 R ln ⁡ 2

E a variação de entropia total vai ser a soma:

Δ S = Δ S 1 + Δ S 2 = 4 R ln ⁡ 2

Passo 7

Agora vamos analisar o segundo gráfico, que vai servir pras letras g - ( j ) :

Analisando o gráfico, tiramos as seguintes informações dos estados A ,   B   e   C :

  • A : T 1 , p 1 ,   V 1
  • B : 2 p 1 ,   V b ,   T 1
  • C : 2 p 1 ,   2 V 1 ,   T c

Agora vamos analisar o primeiro processo: ele é isotérmico, então Δ E i n t = 0 . Então da primeira lei temos:

Q = W = n R T 1 ln ⁡ V b V a

Agora da lei geral dos gases temos:

p a V a = p b V b

Assim:

V b V a = p a p b = p 1 2 p 1 = 1 2

E também:

p 1 V 1 = n R T 1

Assim podemos substituir a temperatura ali em cima:

Q = n R .   p 1 V 1 n R . ln ⁡ 1 2

Sendo assim a razão Q / p 1 V 1 é:

Q p 1 V 1 = - l n ⁡ ( 2 )

Passo 8

O processo 2 é isobárico, sendo assim:

Q = n C P Δ T = n . 5 2 R   . ( T c - T b )

Pela lei dos gases, comparando os estados A e C do gráfico, temos:

2 p 1 2 V 1 T c = p 1 V 1 T 1

Assim T c = 4 T 1 e como T b = T 1 :

Q = 5 2   n R 4 T 1 - T 1 = 3.5 2   n R T 1 = 15 2   p 1 V 1

Sendo assim a razão Q / p 1 V 1 é:

Q p 1 V 1 = 15 2

Passo 9

Em um processo isotérmico, Δ E i n t = 0 então Q = W , assim, copiando o resultado dos Passos 1   e   7 , no qual Q = W , então a razão que o problema pede é:

Q p 1 V 1 = - ln ⁡ 2 = W p 1 V 1

Passo 10

Agora a mesma razão, mas agora para o processo 2   : isobárico. O trabalho é bem tranquilo:

W = p Δ V = p b ( V c - V b )

Todos esses dados temos lááá no passo 7 , dá uma espiada lá e volta aqui:

W = 2 p 1 2 V 1 - 1 2 V 1 = 3 2 p 1 V 1

E a razão W / p 1 V 1 fica:

W p 1 V 1 = 3 2

Passo 11

Vamos calcular a variação da energia interna?

Bom, já estamos carecas de saber que para um processo isotérmico Δ E i n t 1 = 0 , sendo assim não temos contribuição do processo 1 . O processo 2 é isobárico, então a variação total da energia interna vai ser:

Δ E i n t t o t a l = Δ E i n t 1 + Δ E i n t 2 = Δ E i n t 2

Se dividirmos por p 1 V 1 dos dois lados vamos ter:

Δ E i n t t o t a l p 1 V 1 = Δ E i n t 2 p 1 V 1 = Q p 1 V 1 - W p 1 V 1 = - ln ⁡ 2 - 3 2

UFA! VAMOS PRA ÚLTIMA! Toma fôlego e vem comigo!

Passo 12

E a variação de entropia? Bom, ela devemos também separar nos dois processos:

  1. Isotérmico:
  2. Δ S 1 = ∫ d Q T = 1 T ∫ d Q = Q T

    Como já calculamos esse calor

    Δ S 1 = - ln ⁡ 2 p 1 V 1 T 1 = - R ln ⁡ 2

  3. Isocórico (lembrando que T b = T 1 e T c = 4 T 1 ):

Δ S 2 = ∫ d Q T

Como o processo é isobárico d Q = n C P d T = C P d T ( n = 1 )

Δ S 2 = ∫ C P d T T = C P ln ⁡ T c T a = 5 2 R ln ⁡ 4 T a T a = 5 2 R ln ⁡ 4 = 5 2 R ln ⁡ 2 2 = 5 R ln ⁡ 2

Δ S = Δ S 1 + Δ S 2 = - R ln ⁡ 2 + 5 R ln ⁡ 2 = 4 R ln ⁡ 2

Que é a mesma reposta do passo 6! Até por que os estados inicial e final dos dois processos são iguais. Você podia responder assim, mas não custa nada dar uma treinada a mais não é mesmo?

Resposta

( a ) l n ⁡ ( 2 )

b 3 / 2  

c ln ⁡ 2

( d ) 0

e 15 2

( f ) 4 R ln ⁡ 2

g - ln ⁡ 2

h 15 / 2

i - l n ⁡ ( 2 )

j 3 / 2

( k ) - ln ⁡ 2 - 3 2

l 4 R ln ⁡ 2

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