Enunciado

Suponha que a Terra seja uma esfera homogênea não girante. Como prêmio por terem recebido a maior nota de laboratório, seu professor de física escolhe sua equipe de laboratório para participar de um experimento gravitacional em um uma profunda mina no equador. Esta mina possui um elevador que entra 15,0 k m dentro da Terra. Antes de fazer a medida, você é solicitado a prever o decréscimo no peso, ao chegar no fundo do poço do elevador, de um membro da equipe que pesa 800 N na superfície da Terra. A massa específica da crosta terrestre aumenta com a profundidade. Sua resposta é maior ou menor do que o resultado experimental?

Passo 1

Fala, querido! Vamos entender o que ele quer dizer. Ele pede para gente calcular a diferença entre o peso de um homem na superfície terrestre e o peso dele a uma profundidade de 15   k m . A gente lembra que peso é dado por

P = m g

Sendo m a massa do homem e g a magnitude do campo gravitacional onde ele está.

Se a gente chamar de g s a magnitude do campo gravitacional na superfície da Terrra e g p o campo a profundidade d = 15   k m , a diferença entre os pesos nessas localidades será

Δ P = P s - P p

Δ P = m g s - m g p

Mas ele diz que a gente pode considerar que a Terra é uma esfera homogênea. Então vale a fórmulinha de magnitude de campo gravitacional:

g = G M r 2

Sendo que G é uma constante, r é a distância do ponto onde o homem está e o centro da Terra e M é a massa da esfera que tem esse raio r .

A ideia é a gente usar essas fórmulinhas para chegar onde ele quer. Bora lá!

Passo 2

Repara que a gente tem o peso do homem na superfície da Terra, aí podemos escrever que

P s = m g s = 800   N

Esse é o nosso único dado além da produndidade em que o homem está, então vamos tentar achar P p = m g p em função de m g s . Para isso, vamos escrever a expressão de g s e g p .

Temos que g s é o campo na superfície, então a distância do ponto em que o homem está e o centro da Terra é o próprio raio da Terra R , assim a massa M é a própria massa da Terra também

g s = G M T R 2

Já para o momento que ele está numa profunidade d , a distância até o centro da Terra é R - d , e assim, temos uma nova massa, a massa da esfera de raio R - d :

g p = G M p R - d 2

Passo 3

Mas lembra que a Terra é uma esfera homogênea, o que quer dizer que a massa específica ρ dela é constante. Ela vai ser a mesma tanto para a esfera de raio R quanto para a esfera de raio R - d . Então a gente pode escrever M p e M T em função de ρ .

Temos que

ρ = M V → M = ρ V

Onde V é o volume de uma esfera. Para a esfera de raio R

M T = ρ 3 4 π R 3

E para a esfera de raio R - d :

M P = ρ 3 4 π R - d 3

Substituindo isso nas expressões para o campo gravitacional de cada situação

g s = G M T R 2 → g s = G ρ 3 4 π R 3 R 2

g s = G ρ 3 4 π R

g p = G M p R - d 2 → g p = G ρ 3 4 π R - d 3 R - d 2

g p = G ρ 3 4 π R - d

Passo 4

Mas lembra que a gente quer colocar m g p em função de m g s , então a gente vai colocar g p em função de g s . Uma forma de fazer isso é dividir a expressão de g p por g s , já que queremos relacionar essas duas grandezas:

g s g p = G ρ 3 4 π R G ρ 3 4 π R - d

g s g p = R R - d

g s R - d = g p R

Então, podemos relacionar a gravidade nos dois pontos pela expressão abaixo, sendo g p a aceleração num ponto interno e g s a aceleração na superfície:

g p = R - d R g s

Passo 5

Mas então, o peso em cada situação é:

P s = m g s

P p = m g p

Substituindo nossa expressão de g p

P p = m R - d R g s = m 1 - d R g s

Então, a diferença entre os pesos é:

Δ P = P s - P p = m g s - m 1 - d R g s

Δ P = m g s d R

Vimos que o peso do homem é m g s = 800 N , e a profundidade em que ele está é d = 15   k m , e podemos ver pelo Apêndice B que o raio da Terra é R = 6370   k m .

Substituindo valores, vamos encontrar:

Δ P = 800 N 15 k m 6370 k m

Δ P = 1.88 N

Δ P = 1.88 N

Passo 6

Por fim, ele pede para dizer se esse valor Δ P

Δ P = P s - P p

é maior ou menor que o resultado experimental, considerando que na nossa conta a Terra é uma esfera homegenea com ρ constante e que na “vida real”, a Terra é uma esfera com ρ que cresce conforme a profundidade aumenta.

Pensa assim: o peso na superfície P s é o mesmo para o caso teórico (que a gente calculou) e o experimental. E a massa do homem também. Então considerando a fórmulinha do peso

P = m g

O que muda entre esses casos é a gravidade. Vimos que a gravidade depende da quantidade de massa entre o ponto onde o homem está e o centro da Terra. Quanto mais perto do centro, menor era a gravidade, certo?

Só que, se ρ aumenta conforme essa distância do centro da Terra diminui, quer dizer que temos mais quantidade de massa entre o ponto de profundidade d e o centro da Terra no caso experimental, do que a gente teria considerando a Terra homogênea do caso teórico.

Então g p para o caso experimental é maior do que g p para o caso teórico. Olha a expressão da diferença de peso de novo

Δ P = P s - P p

Δ P = P s - m g p

Se g p é maior para o caso experimental, significa que essa diferença entre os pesos do homem será menor para esse caso, em relação ao g p do caso teórico que avaliamos.

Resposta

Δ P = 1.88 N

Δ P experimental é menor

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