Enunciado

Para a esfera com cavidade do problema 77, mostre que o campo gravitacional é uniforme dentro da cavidade e determine sua magnitude e orientação.

Passo 1

Vem com calma que essa é cascuda! Aqui eu botei uma representação da cavidade:

Nessa imagem a gente vê g 1 , que é o campo gerado pela esfera maior, g 2 que é o campo gerado pela esfera menor. Esse da esfera menor, como vimos na questão anterior, vai ser um “anti-campo” gerado pela massa negativa que consideramos que essa esfera tem.

Passo 2

Sendo ρ 0 a densidade volumétrica das esferas, vamos calcular o campo gravitacional de cada uma delas!

Primeiro g 1 :

g 1 = G M r 1 2

g 1 = G ρ 0 V r 1 2 = G ρ 0 4 3 π r 1 3 r 1 2

g 1 = 4 π ρ 0 G r 1 3

Esse é o módulo de g 1 , mas o campo gravitacional é vetorial! Então vamos escrever como uma soma das componentes horizontal e vertical, usando aquele ângulo θ da figura como referência.

g 1 → = g 1 ( - c o s θ i ^ - s e n θ j ^ )

Vamos pensar em cada uma dessas componentes separadas, com auxílio da figura:

g 1 x = - g 1 c o s θ = - 4 π ρ 0 G r 1 3 x r 1 = - 4 π ρ 0 G x 3

g 1 y = - g 1 s e n θ = - 4 π ρ 0 G r 1 3 y r 1 = - 4 π ρ 0 G y 3

Esse sinal negativo aparece porque o campo é atrativo, então aponta pra dentro, sacou? Então g 1 → vai ser:

g 1 → = - 4 π ρ 0 G x 3 i ^ - 4 π ρ 0 G y 3 j ^

Passo 3

Vamos fazer o mesmo procedimento para g 2 agora, fazendo aquela brincadeira de considerar a massa dele negativa, por ser uma cavidade!

g 2 = G ( - M ) r 2 2

g 2 = - G ρ 0 V ' r 2 2 = - G ρ 0 4 3 π r 2 3 r 2 2

g 2 = - 4 π ρ 0 G r 2 3

Esse é o módulo de g 2 , mas o campo gravitacional é vetorial! Então vamos escrever como uma soma das componentes horizontal e vertical, usando agora o ângulo α que a linha de g 2 até o centro faz com a horizontal.

g 2 → = g 2 ( - c o s α i ^ - s e n α j ^ )

Vamos pensar em cada uma dessas componentes separadas, com auxílio da figura:

g 2 x = - g 2 c o s α = - - 4 π ρ 0 G r 2 3 x - R 2 r 2 = 4 π ρ 0 G x - R 2 3

g 2 y = - g 1 s e n α = - - 4 π ρ 0 G r 2 3 y r 2 = 4 π ρ 0 G y 3

g 2 → = 4 π ρ 0 G x - R 2 3 i ^ + 4 π ρ 0 G y 3 j ^

Passo 4

Agora é só somar as duas!

g → = g 1 → + g 2 → = - 4 π ρ 0 G x 3 i ^ - 4 π ρ 0 G y 3 j ^ + 4 π ρ 0 G x - R 2 3 i ^ + 4 π ρ 0 G y 3 j ^

g → = - 2 π ρ 0 G R 3 i ^ + 0 j ^

Então o módulo de g → é:

g → = - 2 π ρ 0 G R 3 2 + 0 2

g → = 2 π ρ 0 G R 3

Resposta

g → = 2 π ρ 0 G R 3

O campo gravitacional é orientado no eixo x , com direção para o centro da esfera maior.

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