Enunciado

Ao tapear a superfície da água com sua cauda para anunciar perigo, um castor deve girá-la em torno de uma de suas extremidades estreitas. Modelemos a cauda como um retângulo de espessura e massa específica uniformes. Estime seu momento de inércia em relação à linha que passa por uma das extremidades estreitas (linha tracejada). Suponha a cauda medindo 15 por 30 c m , com uma espessura de 1,0 c m , e que sua massa específica é igual à da água.

Passo 1

Oláaaaa, cê está bem?

Então, essa história toda do castor é basicamente o enunciado tentando dizer que ele quer o momento de inércia de uma placa retangular em relação ao eixo que passa por uma de suas arestas.

A gente não tem o momento de inércia de placas retangulares na nossa listinha do livro, né? Então vamos precisar usar integral para achar o momento de inércia.

Para fazer isso, a gente precisa montar essa integral:

I = ∫ r 2 d m

Onde r é a distância entre o eixo, em relação ao qual a gente quer o momento de inércia, e um elemento que pertence ao nosso sólido (a placa retangular).

Como assim “elemento”? Cara, é um pedacinho do nosso sólido. Aí esse pedacinho tem uma massa bem pequena d m , uma largura bem pequena d x , e tem a espessura da placa t = 1   c m :

Percebe que a distância r = x entre o eixo e o elemento é a mesma para todos os pontos de um elemento de largura d x e altura w (o retângulo vermelho), por isso a gente pode usar esse retângulo fininho, que tem a mesma altura do retângulo como o nosso elemento

Agora bora ver como montar essa integral!

Passo 2

Vimos pela figura que r vale x para todos os pontos do elemento d m , então

r = x

Nossa integral fica

I = ∫ x 2 d m

E d m pode ser escrito também em função de x . Como? Vamos imaginar que a placa tem densidade ρ , que é dada por

ρ = m V

Onde m é a massa da placa e V o volume dela. Essa densidade é constante. Ela é a mesma para todos os pontos. Então a gente pode dizer que

ρ = d m d V

d m = ρ d V

Só que quem é d V é o volume do elemento. Como ele tem altura w , espessura t e largura d x , o volume é

d V = t w d y

Então d m fica:

d m = ρ d V

d m = t ρ w d x

Substituindo isso na integral:

I = ∫ x 2 d m

I = ∫ x 2 t ρ w d x

Passo 3

Agora vamos calcular:

I = ∫ x 2 t ρ w d x

Falta só saber os nossos extremos de integração. Aí cê pode ver isso pela nossa figura. O menor valor que x pode ter é 0 e o maior é a largura do retângulo L , então:

0 < x < L

Nossa integral fica

I = ∫ 0 L ρ w t x 2 d x

Tira o que é constante de dentro da integral

I = ρ w t ∫ 0 L x 2 d x

Usa a regrinha de integrar polinômios:

I = ρ w t x 3 3 0 L

I = ρ w t L 3 3

Passo 4

Ele diz que a cauda (a placa retangular) tem a densidade da água. A densidade da água é ρ = 1   g / c m 3 (é bom gravar ela assim como a gente grava o valor da aceleração da gravidade).

Então agora é substituir os valores!

I = ρ w t L 3 3

I = 1 3 1 g c m 3 15 c m 1 c m 30 c m 3

I = 135000   g ⋅ c m 2

Para passar de g para k g a gente vai multiplicar por 10 - 3 , e para passar de c m 2 para m 2 a gente vai multiplicar por 10 - 2 2 , então vamos ter:

I = 135000 × 10 - 3 × 10 - 2 2

I = 135000 × 10 - 3 × 10 - 4

I = 135000 × 10 - 7

I = 1,35 × 10 - 2   k g ⋅ m 2

Resposta

I = 1,35 × 10 - 2   k g ⋅ m 2

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