Enunciado

O Telescópio Espacial Hubble tem uma abertura de 2,4   m e focaliza luz visível ( 400 - 700   n m ) . O rádio telescópio de Arecibo, em Porto Rico, apresenta 305   m de diâmetro (está montado no vale da montanha) e focaliza ondas de rádio com comprimento de onda de 75   c m .

  1. Em condições ótimas de visibilidade, qual é a menor cratera que cada um desses telescópios poderia resolver na Lua?
  2. Se o Telescópio Espacial Hubble precisasse ser usado para um trabalho de vigilância, qual seria a órbita mais alta sobre a superfície da Terra que ele poderia manter para ainda ser capaz de distinguir a placa (não as letras e números, apenas a placa) de um carro no solo? Suponha condições de visibilidade ótimas, de modo que a resolução seja limitada pela difração.

Passo 1

Vamos lá! Aqui precisamos saber que os limites para resolução angular são limitados pelo critério de Rayleigh e esse critério é dado por

s e n   θ = 1,22 λ D .       ( 1 )

Considerando as distâncias utilizadas, podemos usar a aproximação

s e n   θ ≈ θ .

Sendo s a distância do objeto até a lente e considerando o intervalo y como os dois pontos sobre o objeto, temos

θ = y s .

Logo,

y s = 1,22 λ D     .

Passo 2

Para a lua, temos que s = 3,8 × 10 8   m .

Queremos calcular o menor intervalo entre dois pontos ( y ) que os telescópios podem resolver.

y = 1,22 λ D s .

Substituindo os valores associados a cada telescópio, temos

y H u b b l e = 1,22 × 400 × 10 - 9 2,4   × 3,8 × 10 8 = 77   m  

y A r e c i b o = 1,22 × 0,75 305   × 3,8 × 10 8 = 1,1 × 10 6   m   .  

Passo 3

Podemos considerar que uma placa de um automóvel tenha em torno de 30   c m , ou seja,

y ≈ 30   c m .

Como queremos calcular a distância do telescópio ao objeto, queremos calcular um novo s . Substituindo os valores, rearranjando a expressão temos

s = y D 1,22   λ = 0,3 × 2,4 1,22 × 400 × 10 - 9 = 1,5 × 10 6   m .

Resposta

a )     y h u b b l e = 77   m ;   y A r e c i b o = 1,1 × 10 6   m  

b )     s = 1,5 × 10 6   m .

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