Enunciado

Tem-se um grande número de tijolos idênticos e homogêneos, cada um de comprimento L. Se um for empilhado sobre outro, ao longo de seus comprimentos (veja Figura 12-60), o maior afastamento que permite que o tijolo de cima se equilibre sobre o tijolo de baixo é L/2.

  1. Mostre que, se esta dupla assim montada for colocada sobre um terceiro tijolo, o afastamento máximo possível do segundo tijolo é L/4.
  2. Mostre que, em geral, se você tem uma pilha de N tijolos, o afastamento máximo do (n-1)-ésimo tijolo (contando de cima para baixo) sobre o n-ésimo tijolo é L/n.
  3. Escreva um programa para planilha eletrônica que calcule o afastamento total (a soma dos afastamentos individuais) em uma pilha de N tijolos, e determine este valor para L=20cm e N= 5,10 e 100
  4. A soma dos afastamentos individuais se aproxima de um limite finito, quando N → ∞ ? Em caso afirmativo, que limite é este?

Passo 1

Beleza galera, olhando assim pode parecer difícil, mas na verdade é bem tranquilo. Vamos pensar sobre esta situação. Nós primeiro vamos colocar estes 2 tijolos sobre um terceiro, e precisamos saber qual será o afastamento existente entre estes dois e o terceiro para manter os três em equilíbrio. E assim por diante até colocar (n-1) tijolos sobre o tijolo de número n. Para que permaneça em equilíbrio este conjunto de tijolos deverá manter um afastamento ( d n ) do tijolo n.

Vamos ilustrar então:

Bom, o sistema está em equilíbrio então temos duas condições para serem satisfeitas:

∑ F → = 0     e   ∑ τ → = 0

Vamos começar usando o torque na primeira situação.

O torque é calculado como:

∑ τ → = ∑ ( r → . F → )

Onde r é a distância entre a força e o eixo de rotação. A escolha do eixo será muito importante, e aqui vamos escolher o ponto P. Neste ponto as forças descendentes resultantes dos blocos acima de n vão passar pelo eixo de rotação e, portanto, r = 0 .

No primeiro bloco, nós vamos ter a força peso (w) sendo aplicada na metade do tijolo (L/2). E depois a força dos n blocos acima de (n+1) irão exercer uma força (nw) no tijolo (n+1) a uma distância d n .

No torque:

w . L 2 - n w . d n = 0

L 2 = n d n

Isolando d n :

d n = L 2 n

Já temos nossa resposta para b, no caso de n tijolos.

Passo 2

Bom, para a letra a temos dois tijolos acima, teremos n=2. Na equação do passo 1:

d 2 = L 2 . 2 = L 4  

Para a letra c queremos calcular a distância de n+1, ou seja, vai ser a distância de n tijolos mais a distancia do último

d N = d n + L 2 n

Passo 3

Para finalizar queremos achar o limite do somatório das distâncias:

S = ∑ L 2 n = L 2 ∑ 1 n

Devemos lembrar que 1 n é uma série harmônica e, por isso, S se aproxima do infinito à medida que o número de blocos N cresce sem limite. Podemos provar plotando o gráfico:

Resposta

  1. d 2 = L 4 ;  
  2. d n = L 2 n
  3. d 5 = 15   c m ,     d 10 = 29   c m   e   d 10 0 = 52   c m ;
  4. Não existe limite.
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