Enunciado

A Terra gira em torno de seu eixo uma vez a cada 24 horas, de forma que os objetos em sua superfície executam movimento circular uniforme em torno do eixo com um período de 24 horas. Considere apenas o efeito desta rotaçãosobre uma pessoa na superfície. (ignore o movimento orbital da terra em torno do Sol.) (a) Qual é a rapidez, e qual é a magnitude da aceleração de uma pessoa no equador? (Expresse a magnitude desta aceleração como uma porcentagem de g.) (b) Qual é a orientação do vetor aceleração? (c) Qual é a rapidez e qual é a magnitude da aceleração de uma pessoa na superfície, a 35° de latitude norte? (d) Qual é o ângulo entre o sentido da aceleração da pessoa a 35° de latitude norte e o sentido da aceleração da pessoa no equador, se as duas pessoas estão em uma mesma longitude?

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. Ele diz que a Terra gira em torno de um eixo e sempre leva T = 24   h para dar uma volta completa, ou seja, temos rapidez constante. E pede a aceleração e rapidez de uma pessoa no equador.

Essa pessoa na superfície da Terra está em uma trajetória circular já que a Terra gira e ela está sobre a Terra. Assim, a aceleração que essa pessoa vai ter vai ser a aceleração centrípeta. Mas o que ele quer dizer com ela está na linha do equador?

Vamos lembrar um pouco de Geografia da escola, a linha do equador é a linha imaginária em torno do meio do planeta:

Isso quer dizer que a trajetória da pessoa em torno do eixo de rotação da Terra tem raio igual ao raio da Terra

R = R T

Com isso em mente e sabendo que a gente tem um movimento circular de rapidez constante, vamos calcular o que ele pede!

Passo 2

Por definição, a aceleração centrípeta é dada por:

a c = v 2 R

Sendo que R é o raio da trajetória e v é o módulo da velocidade do movimento circular.

O módulo da velocidade (a rapidez) para o movimento circular é dado por:

v = 2 π R T

Onde T , é o período de rotação que é o tempo de a Terra dá uma volta completa. Vimos que esse tempo é de 24 h , mas precisamos passar esse cara para segundos

T = 24 h ⋅ 3600   s 1   h = 86400   s

Vimos que R = R T , e pelo apêndice B, temos R T = 6,37 × 10 6   m . Temos então que a velocidade é de:

v = 2 π R T

v = 2 π ⋅ 6,37 × 10 6   m 86400   s

v = 463,24   m / s

Com isso, a aceleração centrípeta será:

a c = v 2 R

a c = ( 463,24   m / s ) 2 6 , 37 ⋅ 10 6 m

a c = 0,03369   m / s 2

a c = 3,37   c m / s 2

Mas ele quer esse resultado como uma porcentagem de g = 9,8   m / s 2 . Então vamos fazer uma regrinha de 3:

g → 100 %

a c → x

x = a c g ⋅ 100 %

x = 0,03369   m / s 2 9,81   m / s 2 ⋅ 100 %

x = 0,3434 %

Passo 3

b) Por definição o vetor aceleração centrípeta aponta para o centro da trajetória, logo, o vetor aceleração aponta diretamente para o centro da Terra.

Passo 4

c) Ele quer as mesmas grandezas, mas agora a pessoa está a 35 ° de latitude norte. Ou seja, ela está numa linha imaginária mais acima da linha do equador:

Isso quer dizer que o raio da sua trajetória em relação ao eixo de rotação não é R T mas menor. Para achar esse raio podemos usar trigonometria. Percebe que o raio da nossa trajetória tem o mesmo tamanho que a projeção de R T na horizontal.

Para achar o valor de R , podemos fazer:

R = R T cos ⁡ 35 ° = 6,37 × 10 × cos ⁡ 35 ° = 5217998   m

Agora a gente pode usar as fórmulinhas da rapidez e da velocidade. Temos:

v = 2 π R T

Subsituindo:

v = 2 π ⋅ 5217998   m 86400   s

v ≈ 380   m / s

A aceleração centrípeta será:

a c = v 2 R

a c = ( 380   m / s ) 2 5217998

a c = 0,02766   m / s 2

a c = 2,77   c m / s 2

Passo 5

d) Cara, ele quer o ângulo entre o vetor aceleração para o primeiro caso e o vetor aceleração para esse caso que a gente acabou de avaliar.

Para isso, vamos posicionar o vetor aceleração para esse segundo caso. O vetor aponta sempr para o centro da trajetória. Como agora nossa trajetória é uma circunferência mais acima, nosso vetor vai apontar para o centro dela e não o centro da Terra. Fica assim:

Aí vamos avaliar as duas situações juntas:

Percebe que as acelerações são ambas perpendiculares ao eixo de rotação. Isso faz com que elas sejam paralelas entre si.

Logo o ângulo entre elas é nulo.

Resposta

a ) v = 463,24   m / s

a g = 0,3434 %

b ) Por definição o vetor aceleração centrípeta aponta para o centro, logo, o vetor aceleração aponta diretamente para o centro da Terra.

c ) v = 380   m / s

a c = 2,77   c m / s 2

d ) 0 °

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