Enunciado

(a) Se tomamos como zero a energia potencial de um corpo de 100   k g e a Terra, quando os dois corpos estão separadas de uma distancia infinita, qual é a energia potencial quando corpo está na superfície da Terra? (b) Determine a energia potencial do mesmo corpo a uma altura, acima da superfície da Terra, igual ao raio da Terra. (c) Determine a rapidez de escape de um corpo projetado desta altura.

Passo 1

a) Fala! A gente quer a energia potencial de um corpo na superfície da Terra. Aproximando a Terra por uma esfera, e como o enunciado disse que quando a distância entre os corpos tende a inifito, a energia potencial é nula, podemos usar essa expressão:

U r = - G M T m r

Sendo r a distância entre o centro da Terra e o centro do corpo. m a mass do corpo e M T a massa da Terra. E G a constante de gravitação.

Nesse primeiro item, ele nos pede a energia na superfície da terra, então a distância entre o corpo e o centro da Terra é o próprio raio da Terra. Basta então fazermos r = R T .

U R T = - G M T m R T

Sendo R T o raio da Terra. Pra facilitar as coisas, podemos usar que

g = G M T R T 2

Aí ficamos com

U R T = - G M T R T 2 m R T = - m g R T

Temos a massa m do corpo pelo enunciado. O raio da Terra a gente encontra no apêndice B e vale 6,37 ⋅ 10 6   m . E a gravidade na superfície da Terra é 9,81   m / s 2 , que equivale a 9,81   N / k g . Substituindo nossos dados:

U R T = - 100   k g 9,81 N k g 6,37 ⋅ 10 6   m = - 6,25 ⋅ 10 9   J

Passo 2

(b) Para esse item é o mesmo processo. Ele diz que o corpo está a uma altura que é igual ao raio da Terra. Então, a distância dele do centro da Terra é o raio da Terra mais ou raio da Terra, ou seja, basta fazermos r = 2 R T .

U R T = - G M T m 2 R T

Pra facilitar as coisas, podemos usar que g = G M T R T 2 novamente

U R T = - 1 2 G M T R T 2 m R T = - m g R T 2

Substituindo os valores:

U R T = - 100   k g 9,81 N k g 6,37 ⋅ 10 6   m 2 = - 3,12 ⋅ 10 9   J

Passo 3

(c) A velocidade de escape é a velocidade que o corpo deve ter para gerar uma energia cinética suficiente para tirá-lo do campo gravitacional onde está.

Basicamente, é a velocidade que produz a energia K que leva o corpo para a distância no inifinito.

Pra acharmos a velocidade de escape, vamos conservar energia e impormos que a velocidade no infinito será nula. Já que no infinito o corpo está fora do alcance do campo gravitacional da Terra, uma vez que nele temos

U ∞ = 0

Cuidado: Ele pede a velocidade a partir do 2 R T e não da superfície!!

No começo, nosso corpo está perto da Terra. Então ele tem a energia potencial gravitacional U e a energia cinética que vai tirar ele do campo K i . Já no fim, o corpo está no infinito, então ele tem U ∞ = 0 e a energia cinética também vai ser nula porque a velocidade dele lá é nula.

Temos então que a conservação de energia fica

U + K i = 0

Passo 4

A energia cinética é dada por

K = m v e 2 2

E vimos a expressão para U em r = 2 R T no item anterior. Logo temos a conservação

m v e 2 2 - G M T m 2 R T = 0

Logo,

m v e 2 2 = G M T m 2 R T

v e 2 = 2 G M T 2 R T = G M T R T 2 ⋅ R T

Vamos lembrar que g = G M T / R T 2 . Assim

v e 2 = G M T R T 2 ⋅ R T = g R T

v e = g R t

Substituindo os dados e fazendo as contas:

v e = 9,81 × 6,37 × 10 6  

v e = 7,9   k m / s

Resposta

  1. U R T = - 6,25 ⋅ 10 9   J
  2. U 2 R T = - 3,12 ⋅ 10 9   J
  3. v e = 7,9   k m / s
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