Enunciado

Tome como referência o Problema 34.75. Mostre que a ampliação longitudinal m ' para a refração em uma interface esférica é dada por

m ' = - n b n a m 2

Passo 1

Bom pessoal, esse é basicamente um problema de matemática. Lá no problema 34.75, o enunciado deu a definição da ampliação longitudinal m ' :

m ' = d s ' d s

E no caso da interface esférica, a ampliação transversal m segue essa fórmula aqui:

m = - n a s ' n b s

Tá, outra fórmula que a gente conhece para a interface esférica, e que relaciona todas essas variáveis, é a seguinte:

n a s + n b s ' = n b - n a R

Vamos derivar essa fórmula em relação a s pra tentar encontrar m ' .

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar a equação:

n a s + n b s ' - n b - n a R = 0

E então, tirando a derivada em relação a s :

d d s n a s + n b s ' - n b - n a R = 0

O último termo só tem constantes, então a derivada dele é nula:

d d s n a s + n b s ' = 0

Agora é só aplicar as regras de derivação que a gente conhece:

n a d d s 1 s + n b d d s 1 s ' = 0

No termo da esquerda você pode derivar direto pra ficar com - 1 / s 2 :

n a - 1 s 2 + n b d d s 1 s ' = 0

Já no segundo termo você tem que usar a regra da cadeira, já que a variável é s ' e estamos derivando em relação a s :

n a - 1 s 2 + n b - 1 s ' 2 d s ' d s = 0

Beleza, agora vamos isolar d s ' / d s :

d s ' d s = - n a s ' 2 n b s 2

E esse d s ' / d s é exatamente a definição do m ' que colocamos lá no passo 1 :

m ' = - n a s ' 2 n b s 2

Passo 3

Agora dê uma olhada na fórmula do m :

m = - n a s ' n b s

Bem parecida com que a gente achou para o m ' . Então vamos reescrever m ' em função de m :

m ' = - n a s ' 2 n b s 2 = - n a s ' n b s 2 n b n a

m ' = - - m 2 n b n a

Então:

m ' = - n b n a m 2

Pronto! Demonstramos a fórmula do enunciado.

Resposta

Demonstração.

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