Enunciado

Um trenó em repouso é subitamente puxado em três direções horizontais ao mesmo tempo, mas não vai a lugar algum. Paul puxa para o nordeste com uma força de 50   l b . Jhonny puxa a um ângulo de 35 ° a sul do oeste com uma força de 65   l b . Connie puxa com uma força a ser determinada. (a) expresse as duas forças dos garotos em termos dos vetores unitários usuais. (b) Determine a terceira força (a feita por Connie), expressando-a primeiro na forma das componentes e então como uma magnitude e um ângulo (direção).

Passo 1

(a) Vamos fazer um desenho que represente as duas forças conhecidas:

Ao dizer que temos uma força com um ângulo de 35 ° a sul do oeste, o enunciado quis dizer que o ângulo sai da linha do oeste e vai em direção ao sul, como a gente desenhou.

Vamos dizer que i ^ aponta para E e j ^ aponta para N , então os vetores são:

F → P = 50 cos ⁡ 45 °   i ^ + 50 sen ⁡ 45 °   j ^   l b s

F → J = - 65 cos ⁡ 35 °   i ^ - 65 sen ⁡ 35 °   j ^   l b s

Percebe que a segunda força só tem componentes negativas porque elas aponta para o sentido negativo de x e y .

Agora vamos calcular esses valores numéricos:

F → P = 3 5   i ^ + 35   j ^   l b s

F → J = - 53   i ^ - 37   j ^   l b s

Como nossos dados iniciais não tinham casa decimal, nossos resultados também não terão.

Passo 2

(b) Vamos escrever a força exercida por Connie F → C na forma vetorial, com os vetores unitários

F → C = F x   i ^ + F y   j ^

Para descobrir qual é a terceira força só temos que lembrar do fato de que o trenó está em repouso. Isso quer dizer que a força resultante deve ser zero

F → R = ∑ F → = 0

F → P + F → J + F → C = 0

Isso implica em

F p x + F j x + F c x = 0

F p y + F j y + F c y = 0

Substituindo as componentes das nossas forças, ficamos com um sistema:

35 - 53 + F x = 0 35 - 37 + F y = 0

F x = 1 8   l b s

F y = 2,00   l b s

E então a terceira força tem a seguinte forma:

F → C = 1 8   i ^ + 2,00   j ^   l b s

Passo 3

(b) E agora vamos escrever essa mesma força como uma magnitude e um ângulo. Primeiro calculamos a magnitude:

F → C = 1 8 2 + 2,00 2 ≈ 18,0   l b s

Como os dois valores são positivos, sabemos que F → C está no “primeiro quadrante” do nosso sistema.

Se o ângulo que esse vetor forma com o eixo horizontal O - E é α , nós podemos calculá-lo da seguinte forma:

tan ⁡ α = F y F x

tan ⁡ α = 2,00 1 8

α = 6,3 °

E então F → C é um vetor de magnitude igual a 18,0   l b s formando um ângulo de 6,3 ° no sentido anti-horário a partir do eixo horizontal.

Resposta

(a) F → P = 35   i ^ + 35   j ^   l b s e F → J = - 53   i ^ - 37   j ^   l b s .

(b) O terceiro vetor é F → C = 1 8   i ^ + 2,00   j ^   l b s , com magnitude F C = 18,0   l b s e formando 6,3 ° anti-horário com a horizontal.

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