Um tubo de descarga de gases contém íons e átomos de H 1   , H 2 , H e 3 , H e 4 , L i 6 e L i 7 (o índice superior dá a massa atômica), com os quatro últimos ionizados de modo forma que tenham apenas um elétron.

a) Quando o potencial ao longo do tubo é aumentado a partir do zero, quais seriam as primeiras linhas espectrais que apareceriam?

b) Dê, em ordem crescente de frequências, a origem das linhas correspondentes à primeira linha da série de Lyman do H 1 .

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

Como foi discutido no problema anterior (problema 32), o espectro de energia é dado por

E n = - Z 2 13,6 n 2   μ m e   e V

Z é o número atômico, μ é a massa reduzida e m e é a massa do elétron. Com isso, as linhas espectrais têm energia dada por

E = Z 2   μ m e   13,6   e V   1 n f 2 - 1 n i 2

A massa reduzida é dada por

1 μ = 1 m n u c l e o + 1 m e = 1 A   M + 1 m e ,

onde A é o número de massa e M é a massa do próton. Desta forma,

m e μ = 1 + 1 A m e M = 1 + 1 1836   A

Ou ainda,

μ m e = 1 + 1 1836   A - 1 ≈ 1 - 1 1836   A

Na última passagem usei a aproximação 1 + x n ≈ 1 + n x , se x ≪ 1 . Desta forma, podemos escrever

E = Z 2 1 - 1 1836   A   13,6   e V   1 n f 2 - 1 n i 2 = f ⋅ 13,6   e V   1 n f 2 - 1 n i 2

Vamos olhar apenas para o fator f :

f = Z 2 1 - 1 1836   A

Ele vai terminar quais são serão as primeiras linhas espectrais!

Passo 2

Na tabela a seguir apresentamos o valor de f para cada átomo:

Vemos que o Z é predominante sobre o A na determinação da escala de energia. Esperamos, em ordem crescente, que a linhas apareçam na seguinte ordem:

H 1 < H 2 < H e 3 < H e 4 < L i 6 < L i 7

Passo 3

A primeira linha da série de Lyman ocorre com n i = 2 e n f = 1 , de modo que

13,6   e V ⋅ 1 n f 2 - 1 n i 2 = 13,6   e V ⋅ 1 - 1 4 = 10,2   e V

Multiplicando pelos fatores f de correção:

Para achar as frequências, basta lembrar que E = h ν , de modo que

ν = E h

Usando h = 4,13 ⋅ 10 - 15   e V   s , obtemos:

Resposta

H 1 < H 2 < H e 3 < H e 4 < L i 6 < L i 7

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