Enunciado

Um túnel reto é cavado através de um planeta esférico com massa específica de massa ρ 0 . O túnel passa pelo centro do planeta e é perpendicular ao eixo de rotação do planeta, que é fixo no espaço. O planeta gira com uma certa rapidez angular constante ω para a qual objetos no túnel não possuem peso aparente. Determine está rapidez angular ω .

Passo 1

Nessa questão vamos usar a Lei de Newton para gravitação. Repara que nossa força resultante será do tipo centrípeta, olha só:

F r e s = F g

Logo,

G M m r 2 = m ω 2 r

Logo,

ω 2 = G M r 3

Passo 2

Agora precisamos relacionar a massa com a massa especfica.

ρ 0 = M V = M 4 3 π r 3

Assim,

M = 4 3 π r 3 ρ 0

Passo 3

Juantando as relações encontradas no passo 1 e 2:

ω 2 = G M r 3

Substituindo M :

ω 2 = G ⋅ ( 4 3 π r 3 ρ 0 ) r 3

Fazendo as simplificações, temos:

ω = 4 π ρ 0 G 3  

Resposta

ω = 4 π ρ 0 G 3

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