Enunciado

A unidade astronômica (UA) é definida como a distância média centro-a-centro da Terra ao Sol: 1,496   .   10 11   m . O parsec é o raio de um círculo para o qual um ângulo central de 1   s intercepta um arco de comprimento igual a 1   U A . O ano-luz é a distância que a luz viaja em um ano. (a) Quantos parsecs existem em uma unidade astronômica? (b) Quantos metros existem em um parsec? (c) Quantos metros em um ano-luz? (d) Quantas unidades astronômicas em um ano luz? (e) Quantos anos-luz em um parsec?

Passo 1

(a) O enunciado diz que o parsec é definido como o raio de um certo círculo. Que círculo é esse? É aquele no qual um segundo de arco (que é uma certa fração de 1 ° ) compreende um arco de comprimento S = 1   U A . Vamos lembrar da fórmula que relaciona um ângulo e um raio de um círculo ao comprimento do arco:

S = r θ

Onde θ precisa estar em radianos, então:

1   U A = 1   p a r s e c ( 1   s )

Só precisamos reescrever 1   s em radianos:

1   s = 1 60   m i n

E um minuto de arco é 1 / 60 de 1 ° , então:

1   s = 1 60 1 60 1 ° = 1 3600 1 °

E agora só falta fazer a conversão já conhecida de graus para radianos:

1   s = 1 3600 1 ° = 1 3600   1 °   π 180 ° = 4,848   .   10 - 6

Agora é só substituir:

1   U A = 1   p a r s e c ( 4,85.10 - 6 )

1   U A = 4,848   .   10 - 6   p a r s e c

Passo 2

(b) Agora queremos saber quantos metros existem em um parsec. Só precisamos lembrar da relação que o próprio enunciado já deu:

1   U A = 1,496   .   10 11   m

Substituindo isso no resultado que acabamos de encontrar:

1   U A = 4,848   . 10 - 6   p a r s e c

1,496.10 11   m = 4,848   .   10 - 6   p a r s e c

1   p a r s e c = 3,086   .   10 16   m

Passo 3

(c) Um ano luz é a distância que a luz viaja em um ano. Nós sabemos que a velocidade da luz é de aproximadamente 3,00   . 10 8   m / s , então só o que precisamos fazer é descobrir quantos segundos existem em um ano:

1   a n o = 365   d i a s

365   d i a s = 365   24   h o r a s = 8760   h o r a s

8760   h o r a s = 8760   60   m i n u t o s = 525   600   m i n u t o s

525   600   m i n u t o s = 525   600   60   s e g u n d o s = 31   536   000   s e g u n d o s

E se a luz viaja 3,00   .   10 8   m a cada segundo, quantos metros ela viaja em um ano?

Δ s = v Δ t

Δ s = 3,00.10 8 31536000 = 9,461   .   10 15   m

Passo 4

(d) E agora que já encontramos a quantidade de metros em 1 ano-luz, e sabemos que uma unidade astronômica tem 1,496   .   10 11   m , fica fácil calcular a quantidade de unidades astronômicas em um ano luz:

n = 1   a n o   l u z 1   U A = 9,461.10 15 1,496   .   10 11 = 6,324   .   10 4

Passo 5

(e) E para descobrir quantos anos luz temos em um parsec podemos fazer quase a mesma coisa. Dessa vez temos que usar o nosso resultado de que 1   p a r s e c = 3,086   .   10 16   m , e o de que 1   a n o   l u z = 9,461   .   10 15   m

n = 1   p a r s e c 1   a n o   l u z = 3,086.10 16 9,461.10 15 = 3,262

Resposta

(a) Existem 4,848   .   10 - 6 parsecs em uma unidade astronômica.

(b) Existem 3,086   .   10 16 metros em um parsec.

(c) Existem 9,461   .   10 15 metros em um ano luz.

(d) Existem 6,324   .   10 4 unidades astronômicas em um ano luz.

(e) Existem 3,262 anos luz em um parsec.

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