Enunciado

Uma unidade de radar da polícia transmite microondas com frequência de 3,00   ×   10 10   H z e sua velocidade no ar é de 3,00   ×   10 8   m   /   s . Suponha que um carro esteja se afastando do carro da polícia estacionário a uma velocidade de 140   k m   /   h . (a) Qual é a diferença de frequência entre o sinal transmitido e o sinal recebido do carro que está se afastando? (b) Suponha que o carro da polícia se mova a uma velocidade de 60 km / h na mesma direção que o outro veículo. Qual é a diferença de frequência entre os sinais emitidos e refletidos?

Passo 1

a) Cara, ele deu um carro de polícia parado que emite uma onda e ele quer saber a diferença entre a frequência dessa onda emitida pelo carro da polícia e a frequência recebida por esse mesmo carro de polícia em relação a onda refletida por um carro que se afasta a 140   k m / h .

Bizu: falou de onda transmitida e onda recebida, e de velocidade da fonte da onda (quem emite a onda) e do receptor (quem recebe a onda), cê pensa logo em efeito Doppler!

A gente primeiro vai achar a expressão da frequência da onda que o carro que se afasta recebe. E depois vamos achar a frequência que o carro de polícia recebe quando esse carro que se afasta reflete a onda que ele recebeu.

Para achar a frequência da onda que é recebida pelo carro que se afasta, vamos usar a expressão do efeito Doppler

f c = v ± u c v ± u p f p

Onde v é a velocidade de propagação da onda no meio em questão, u c é a velocidade do carro que se afasta (receptor), u p é a velocidade do carro de polícia (fonte), f p é a frequência emitida pelo carro de polícia e f c é a frequência recebida pelo carro que se afasta.

Passo 2

Precisamos agora avaliar que sinais usar na fórmula. Mas antes, já podemos substituir que u p = 0 porque o carro de polícia está parado.

f c = v ± u c v f p

Uma forma de escolher o sinal certo para u c é adotarmos como nosso referencial positivo o sentido que sai do receptor (carro que se fasta) e vai em direção a fonte (carro de polícia), a velocidade que estiver nesse sentido vai ser positiva.

Então, como o carro se afasta do carro de polícia, ele está no sentido que sai do carro de polícia, a fonte, e vai em direção ao receptor. Esse é o sentido contrário ao do referencial, logo sua velocidade fica negativa, e nossa expressão fica

f c = v - u c v f p

Essa é a frequência de onda recebida pelo carro que se afasta e que ele vai refletir para o carro de polícia. Falta a gente descobrir que frequência o carro de polícia vai receber daí.

Passo 3

Agora vamos escrever a expressão da frequência recebida pelo carro de polícia. Nesse caso, o carro de polícia é o receptor e o carro que se afasta é a fonte. Usamos a expressão do efeito doppler novamente:

f p ' = v ± u p v ± u c f c

Onde v é a velocidade de propagação da onda no meio em questão, u c é a velocidade do carro que se afasta (como agora ele é a fonte, colocamos essa velocidade no denominador), u p é a velocidade do carro de polícia (receptor), f c é a frequência emitida pelo carro que se afasta e f p ' é a frequência recebida pelo carro de polícia.

Novamente, u p = 0 . E usando o referencial que sai do receptor (carro de polícia) e vai em direção a fonte (carro que se afasta), a velocidade do carro u c vai ser positiva, porque ela está no sentido que sai do carro de polícia (que se afasta dele). Logo, nossa expressão fica:

f p ' = v v + u c f c

Substituindo aí a expressão que a gente tem de f c :

f p ' = v v + u c v - u c v f p

f p ' = v - u c v + u c f p

Passo 4

A questão quer a diferença entre essa frequência recebida pelo policial e a emitida por ele, então temos que fazer:

Δ f = f p - f p '

Δ f = f p - v - u c v + u c f p

Agora é substituir nossos dados. Esses são os dados do enunciado, que precisamos passar para o SI

v = 3,00   ×   10 8   m / s

u c = 140   k m / h = 140 3.6   m / s

f p = 3,00   ×   10 10   H z

Substituindo

Δ f = f p - v - u c v + u c f p

Δ f = 3,00   ×   10 10 - 3,00   ×   10 8 - 140 3.6 3,00   ×   10 8 + 140 3.6 3,00   ×   10 10

Δ f = 7777.77 = 7 , 7 8 × 10 3   H z = 7,78 k H z

Obs: o gabarito está com sinal trocado porque ele faz f p ' - f p . Mas como ele pede a diferença entre sinal emitido e recebido, a gente acha que faz mais sentido usar f p - f p ' mesmo, tá?

Passo 5

b) Cara, temos a situação muito parecida com a anterior. Ele continua querendo Δ f . Mas agora, o carro de polícia corre no sentido do outro carro, a 60   k m / h .

Vamos usar efeito Doppler novamente e usar o mesmo passo a passo do item anterior. Tudo fica igualzinho. A única diferença é que agora a velocidade do policial é diferente de zero. Então vamos precisar estudar o sinal de u p agora. Vamos!

A fórmulinha é:

f c = v ± u c v ± u p f p

Lembrando que v é a velocidade de propagação da onda no meio em questão, u c é a velocidade do carro que se afasta (receptor), u p é a velocidade do carro de polícia (fonte), f p é a frequência emitida pelo carro de polícia e f c é a frequência recebida pelo carro que se afasta.

Agora é adotarmos como nosso referencial positivo o sentido que sai do receptor (carro que se fasta) e vai em direção a fonte (carro de polícia), a velocidade que estiver nesse sentido vai ser positiva.

Como o carro de polícia está seguindo o outro carro, ele está indo no sentido que vai para o outro carro, então a velocidade dele fica negativa. O mesmo acontece com o outro carro, que está no sentido que sai do carro de polícia (se afasta dele), então também é negativa.

A expressão fica

f c = v - u c v - u p f p

Essa é a frequência de onda recebida pelo carro que se afasta e que ele vai refletir para o carro de polícia. Falta a gente descobrir que frequência o carro de polícia vai receber daí.

Passo 6

Agora vamos escrever a expressão da frequência recebida pelo carro de polícia. Nesse caso, o carro de polícia é o receptor e o carro que se afasta é a fonte. Usamos a expressão do efeito doppler novamente:

f p ' = v ± u p v ± u c f c

Onde v é a velocidade de propagação da onda no meio em questão, u c é a velocidade do carro que se afasta (como agora ele é a fonte, colocamos essa velocidade no denominador), u p é a velocidade do carro de polícia (receptor), f c é a frequência emitida pelo carro que se afasta e f p ' é a frequência recebida pelo carro de polícia.

Usando o referencial que sai do receptor (carro de polícia) e vai em direção a fonte (carro que se afasta), a velocidade do carro u c vai ser positiva, porque ela está no sentido que sai do carro de polícia (que se afasta dele).

E a velocidade do carro de polícia está no sentido que sai do receptor (o próprio carro de polícia) e vai para a fonte, então ela fica positiva. Logo, nossa expressão fica:

f p ' = v + u p v + u c f c

Substituindo aí a expressão que a gente tem de f c :

f p ' = v + u p v + u c v - u c v - u p f p

Passo 7

A questão quer a diferença entre essa frequência recebida pelo policial e a emitida por ele, então temos que fazer:

Δ f = f p - f p '

Δ f = f p - v + u p v + u c v - u c v - u p f p

Agora é substituir nossos dados. Esses são os dados do enunciado, que precisamos passar para o SI

v = 3,00   ×   10 8   m / s

u c = 140   k m / h = 140 3.6   m / s

u p = 6 0   k m / h = 60 3.6   m / s

f p = 3,00   ×   10 10   H z

Substituindo

Δ f = f p - v + u p v + u c v - u c v - u p f p

Δ f = 3,00   ×   10 10 - 3,00   ×   10 8   + 60 3.6 3,00   ×   10 8   + 140 3.6 3,00   ×   10 8   - 140 3.6 3,00   ×   10 8 - 60 3.6 3,00   ×   10 10

Δ f = 4,44 × 10 3   H z = 4,44   k H z

Obs: o gabarito está com sinal trocado porque ele faz f p ' - f p . Mas como ele pede a diferença entre sinal emitido e recebido, a gente acha que faz mais sentido usar f p - f p ' mesmo, tá?

Resposta

a ∆ f = 7.78 k H z

b ∆ f = 4.4 4 k H z

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