Enunciado

Trabalhando para uma pequena mineradora de ouro, você se depara com um túnel de uma mina abandonada que, devido ao desmoronamento das escoras de madeira, parece muito perigoso para ser pessoalmente explorado. Para medir sua profundidade, você emprega um oscilador de áudio de frequência variável. Você verifica que ressonâncias sucessivas são produzidas nas frequências de 63,58 e 89,25   H z . Estime a pronfundidade do túnel.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Relacionando a frequência do harmônico com o comprimento de onda e a velocidade, temos:

f n = v λ n

A condição padrão da onda para a corda com uma extremidade fixa é dada por:

L = n λ n 4 ,   n = 1,3 , 5 , …

λ n = 4 L n

Substituindo, temos:

f n = n v 4 L

Para f n = 63,58   H z , temos:

63,58   H z = n v 4 L

Para f n + 2 = 89,25   H z , temos:

89,25   H z = ( n + 2 ) v 4 L

Passo 2

Dividindo as duas equações, temos:

89,25 63,58 = n + 2 v 4 L n v 4 L = n + 2 n

Multiplicando cruzado

89,25 n = 63,58 n + 127,16

25,67 n = 127,16 → n = 127,16 25,67

n = 4,95 ≈ 5

Substituindo:

f n = f 5 = 5 v 4 L

Para L , temos:

L = 5 v 4 f 5

L = 5 ( 343   m / s ) 4 ( 63,58   s - 1 )

L = 6,74   m

Resposta

L = 6,74   m

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