Enunciado

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Usando o produto vetorial, prove a lei dos senos para o triângulo mostrado na figura 10-43. Isto é, se A ,   B e C são comprimentos de cada lado do triângulo, mostre que A s e n a = B s e n b = C s e n c .

Passo 1

Representando com vetores, temos:

Repare que podemos escrever o seguinte: A → + B → = C → .

Passo 2

Como ele falou para usarmos produto vetorial, lá vamos nós:

A → × B → = A B s e n 180 - c = A B s e n ( c )

Além disso,

A → × C → = A C s e n b

Como A → + B → = C → :

A → × C → = A → × A → + B → = A → × A → + A → × B → = 0 + A → × B →

Passo 3

Finalizando:

A → × C → = A → × B →

Aplicando modulo dos dois lados:

A → × C → = A → × B →

Substituindo as coisas,

A C s e n b = A B s e n ( c )

C s e n c = B s e n b

Do mesmo jeito, podemos achar que:

C s e n c = A s e n a

Portanto,

A s e n a = C s e n c = B s e n b

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