Enunciado

(a) Trabalhemos uma solução numérica ao Problema 54. Escreva um programa para planilha eletrônica que faça um gráfico da forma do arco de balões. Use os seguintes parâmetros: N = 10 (balões), cada um contribuindo com uma força de sustentação F = 1,0   N e todos eles atados a uma corda de comprimento L = 11   m , com uma componente horizontal de tensão T H = 10   N . Qual a distância entre os dois pontos de amarração da corda? Qual a altura do ponto mais alto do arco? (b) Note que não especificamos os espaçamentos entre os pontos de amarração – ele é determinado pelos outros parâmetros. Varie T H , mantendo os outros parâmetros inalterados, até criar um arco com o espaçamento de 8,0 m entre os pontos de amarração. Neste caso, quanto vale T H ? Enquando você aumenta T H , o arco deve se tornar mais achatado ou menos achatado? Seu modelo de planilha eletrônica mostra este resultado?

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão. Ele quer que a gente faça um gráfico da forma do arco de balões do problema anterior.

Esse arco é uma curva, certo? Aí para fazer uma curva, o que a gente precisa são pontos x , y que pertencem a ela. E como a gente acha esses pontos?

Cara, essa curva é formada pelos pontos inicial e final da corda e pelos balões. Então que a gente precisa para começar é saber as posições dos balões e a posição inicial da corda.

A posição inicial a gente pode escolher como sendo a origem do nosso referencial x 0 , y 0 = 0,0 . E as coordendas dos balões? Bem, para saber as coordenadas dos balões, a gente vai olhar o enunciado do problema 54. Lá ele diz que para esse arco, valem as equações:

tan ⁡ θ 0 = N F 2 T H

tan ⁡ θ i = N - 2 i 2 T H

x i = L N + 1 ∑ j = 0 i - 1 cos ⁡ θ j

y i = L N + 1 ∑ j = 0 i - 1 sin ⁡ θ j

Percebe que ele dá x i , y i que vão ser as coordenadas dos pontos que a gente precisa usar.

A ideia é a gente usar essa equações e os parâmetros que ele deu para fazer o nossos gráfico.

Como ele pede para usar uma planilha eletrônica, vamos usar o excel aqui. Mas você pode usar outros softwares também. Vamos lá!

Passo 2

θ 0 é o ângulo do ponto inicial do arco, onde ele está amarrado. Podemos encontra-lo isolando θ 0 dess equação:

tan ⁡ θ 0 = N F 2 T H

θ 0 = arctan ⁡ N F 2 T H

Os valores de N ,   F e T H são dados pelo enunciado:

N = 10

F = 1  

T H = 10  

Então a gente substitui elas ali na equação de θ 0 e acha seu valor. Vamos mostrar o resultado na planilha, junto com os outros.

θ i seria o ângulo de um ponto x i , y i da curva. A gente vai tirar ele dessa equação:

tan ⁡ θ i = N - 2 i 2 T H

θ 1 = arctan ⁡ N - 2 i 2 T H

Novamente, é substituir os parâmetros que e ele dá e partir para o abraço. Lembrando que temos 10 balões. Então temos um total de 12 pontos, começando de i = 0 que é o ponto inicial onde a corda está presa e terminando em i = 11 que é o ponto final da corda, onde ela está amarrada também.

Usamos essas fórmulinhas, achamos os ângulos para cada ponto:

Passo 3

Para achar a posição x i para cada ponto depois de x 0 (que a gente já definiu como x 0 = 0 ) , vamos usar:

x i = L N + 1 ∑ j = 0 i - 1 cos ⁡ θ j

Sendo que L = 11   m . Mas o que significa esse somatório? Cara, para entender isso vamos imaginar que queremos i = 1 , ok?

Então vamos substituir esse cara no somatório e abrir o somatório:

x 1 = L N + 1 ∑ j = 0 1 - 1 cos ⁡ θ j = L N + 1 ∑ j = 0 0 cos ⁡ θ j = L N + 1 cos ⁡ θ 0

Vê que o único termo que esse somatório vai ter é j = 0 . Então percebe que a posição x i depende do ângulo θ 0 da posição anterior a ele.

Agora vamos ver i = 2 :

x 2 = L N + 1 ∑ j = 0 i - 1 cos ⁡ θ j = L N + 1 ∑ j = 0 2 - 1 cos ⁡ θ j = L N + 1 ∑ j = 0 1 cos ⁡ θ j = L N + 1 cos ⁡ θ 0 + cos ⁡ θ 1

Percebe que agora o somatório teve 2 termos. Vamos fazer a distributiva:

x 2 = L N + 1 cos ⁡ θ 0 + L N + 1 cos ⁡ θ 1

Repara que esse primeiro termo é a posição de i = 1 que a gente acabou de calcular. Então podemos dizer que:

x 2 = x 1 + L N + 1 cos ⁡ θ 1

Olhando para essa expressão, a gente vê que x 2 depende da posição de x anterior a ele x 1 e depende do cosseno de θ 1 , o ângulo do ponto anterior. Se a gente fizer isso para i = 3 e os outros ponto, vamos ver que esse padrão de usar informações do ponto anterior se repete.

Aí de forma geral, a gente pode escrever que a posição x i é dada por:

x i = x i - 1 + L N + 1 cos ⁡ θ i - 1

O termo i - 1 indica esse uso de informações do ponto anterior a i .

Passo 4

Aí para a posição y i a gente pode usar o mesmo raciocínio do passo anterior para perceber que

y i = L N + 1 ∑ j = 0 i - 1 sin ⁡ θ j

Podemos ser reescrito como:

y i = y i - 1 + L N + 1 sen ⁡ θ i - 1

Ou seja, y i vai usar informações do ponto imediatamente anterior a ele, assim como x i .

Com essas duas expressões de y i e x i , usando os valores de N ,   L que ele deu e sabendo que x i , y i = 0,0 , a gente pode calcular os pontos que pertencem ao nosso arco:

Percebe que a posição da segunda amarração da corda ao solo é achada também por essas expressões que usamos para x i , y i onde i > 0 .

E com esses pontos, a gente pode fazer o gráfico que representa o arco:

Passo 5

Ele quer saber a distância entre os dois pontos de amarração da corda que na real é a distância entre o ponto final e inicial da nossa curva, que estão na mesma altura, então a gente pode escrever:

d = x 11 - x 0

d = 10,5127 - 0

d ≈ 10,5   m

Obs: aqui ficou um pouco diferente do gabarito, mas estamos certinhos, tá?

E ele quer a altura máxima do arco. É só a gente vê o maior valor de y que ele atinge. Pelo gráfico temos

h = y m á x = 1,4   m

Passo 6

b) Queremos achar T H para que d = x 11 = 8   m . Aí a gente vai variar o nosso valor de T H ali na nossa planilha:

Por exemplo, se a gente fizer T H = 1   na planilha, achamos d = 4,8   m . Muito baixo. Agora se a gente fizer T H = 5 já achamos d = 9,5   m . Muito alto.

Pensando em um número entre eles, podemos fazer T H = 3 . Aí conseguimos d = 8,2 m . Bem pertinho do que a gente quer, né? Vamos testar números bem próximos desses até achar d = 8   m certinho.

Fazendo T H = 2,805   a gente chega em d = 8,005   m . Então a gente pode considerar que uma componente horizontal de tensão, T H = 2,805   N , nos dá um espaçamento de aproximadamente 8 m.

Passo 7

E por fim ele quer saber se um aumento em T H deixa o arco mais ou menos achatado.

Cara, pela figura (b) do problema 54, a gente vê que se T tiver uma componente horizontal cada vez maior, menor vai ser o ângulo θ i . Isso quer dizer que os segmentos que forma o arco vão tender a estar mais perto de serem horizontais. E assim, achatando o arco.

E ele quer saber se é isso que acontece com o arco da nossa planilha. Viu que quando a gente fex T H = 1 , tivemos uma largura do arco de d = 4,8 m , mas quando a gente aumentou para T H = 5 , tivemos d = 9,5   m . E ainda, quando a gente tinha T H = 10 , achamos d = 10,5 .

Ou seja, quando maior T H , mais largo é o arco. Se o tamanho da corda é sempre o mesmo, isso significa que o arco está ficando mais achatado conforme T H é maior.

Então nosso modelo preveu sim que aumentar T H deixaria o arco mais achatado.

Obs: ficamos diferentes do gabarito nos valores mas estamos certinhos, tudo bem?

Resposta

a)

d = 10,5   m ,   h = 1,4   m

b) T H = 2,805   N

Quando maior T H mais achado o arco fica.

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