Enunciado

a) Use componentes de vetores para provar que dois vetores são comutativos tanto para soma quanto para produto escalar.

Passo 1

Faala ae! Beleza??

Primeiro, vamos lembrar o que diz a propriedade da comutatividade. Ela diz que a ordem dos fatores não altera o resultado. Como assim?? Então, isso acontece na soma e na multiplicação. Vamos ver um exemplo na soma:

1 + 2 = 3

Certo? Mas e se a gente mudar a ordem do 1 e do 2? Assim:

2 + 1 = 3

A gente pode ver que o resultado não mudou!! Independentemente da ordem dos números, o resultado continuou o mesmo. Isso é a comutatividade!! O mesmo acontece para a multiplicação:

2 ⋅ 3 = 6

E:

3 ⋅ 2 = 6

Beleza? Como a gente pode botar isso num caso geral? Bom, na soma, seria algo assim:

a + b = b + a

Onde a e b são números quaisquer, beleza? E no produto:

a ⋅ b = b ⋅ a

Show?? Agora sabemos o que queremos provar hehe. Bora lá!

Passo 2

O problema quer que provemos a comutatividade para a soma entre dois vetores quaisquer. Bom, então, vamos pegar dois vetores   A → e B → . Em que:

A → = A x   i ^ + A y   j ^

B → = B x   i ^ + B y   j ^

Beleza? Onde A x ,   A y ,   B x e B y são números, representando as componentes dos vetores.

Se os vetores A → e B → são comutativos por adição, a gente espera que:

A → + B → = B → + A →

Que foi o que vimos no passo anterior, certo?

Então, se substituirmos as componentes dos vetores nessa igualdade, temos que:

A → + B → = A x + B x   i ^ + A y + B y   j ^

E

B → + A → = B x + A x   i ^ + B y + A y   j ^

Como vimos no passo anterior, os números são comutativos para a soma, isto é, a ordem deles não vai mudar o resultado!! Então:

A x + B x = B x + A x

E:

A y + B y = B y + A y

Certo?? Logo, por comparação, vemos que as duas somas dos vetores são iguais!! Assim:

A → + B → = B → + A ���

Então, A → + B → = B → + A → é comutativo.

Passo 3

E se esses vetores são comutativos por produto escalar, esperamos que:

A → ⋅ B → = B → ⋅ A →

Assim, seguimos o mesmo raciocínio para calcular a comutividade no produto escalar:

A → ⋅ B → = A x ⋅ B x + A y ⋅ B y

E

B → ⋅ A → = B x ⋅ A x + B y ⋅ A y

Como os números são comutativos para produto, também, a ordem deles não vai importar:

A x ⋅ B x = B x ⋅ A x

E:

A y ⋅ B y = B y ⋅ A y

Então, A → ⋅ B → = B → ⋅ A → é comutativo. Beleza??

O raciocínio das duas provas são bem parecidos mesmo! 😊

Entendeu tudo? Responde Aí! 😉

Resposta

Explicação no passo a passo.

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