Enunciado

  1. Use os resultados do Problema 94 para mostrar que, no limite que T ≫ T E , o modelo de Einstein fornece a mesma expressão para calor específico que a lei de Dulong-Petit.
  2. Para o diamante, T E é aproximadamente 1060 K. Integre numericamente d E i n t = c ' v . d T   para determinar o aumento da energia interna se 1,00 mol de diamante é aquecido de 300 a 600 K.

Passo 1

Legal pessoal, na letra a temos que usar o resultado do exercício anterior.

O problema 94 nos forneceu uma equação para o calor específico molar:

c ' v = 3 R T E T 2 . e T E T e T E T - 1 2  

Para achar o limite quando T ≫ T E , a primeira coisa que devemos fazer é simplificar ao máximo a equação eliminando a indeterminação, já que neste caso o denominador será próximo de zero.

Vamos começar abrindo o denominador:

c ' v = 3 R T E T 2 . e T E T e T E T 2 - 2 e T E T + 1

Dividimos tudo por e T E T :

c ' v = 3 R T E T 2 . 1 e T E T 2 - 2 e T E T + 1 e T E T

Então:

c ' v = 3 R T E T 2 . 1 e T E T - 2 + e - T E T

Expressando os termos exponenciais em suas séries de potências:

e T E T - 2 + e - T E T = 1 + T E T + 1 2 T E T 2 + … - 2 + 1 - T E T + 1 2 T E T 2 + …

e T E T - 2 + e - T E T ≈ T E T 2   q u a n d o   T ≫ T E

Substituindo:

c ' v = 3 R T E T 2 . 1 T E T 2

c ' v = 3 R

Então o modelo de Einstein fornece a mesma expressão para calor específico que a lei de Dulong-Petit

Passo 2

Terminamos uma, agora vamos para a próxima. Temos a equação para o calor específico molar:

c ' v = 3 R T E T 2 e T E T e T E T - 1 2

Mas queremos a variação da energia interna, que será dada por:

d E i n t = c ' v . d T

Temos T E = 1060   K e que T varia de 300 K até 600K.

Agora vamos pensar, de acordo com o que já aprendemos em cálculo se fizermos um gráfico de c ' v versus T, a área abaixo da função formada nos fornecerá a variação da energia interna.

Primeira coisa, vamos montar uma tabela relacionando estas temperaturas com seus respectivos calores específicos:

Agora vamos fazer um gráfico, o excel mesmo nos permite fazê-lo:

A linha não é reta ao longo de toda a variação, mas entre as temperaturas de 300K e 400K, 400K a 500K e 500K e 600K temos linhas retas unindo os pontos, formando um trapézio. Então para achar a área total vamos somar a área de todos os três trapézios formados.

Lembrando que:

A t r a p é z i o = 1 2 B a s e m a i o r + B a s e m e n o r . A l t u r a

Então:

∆ E i n t = 1 2 . 100   K . 9,65 + 14,33 J m o l . K + 1 2 . 100   K . 14,33 + 17,38 J m o l . K + 1 2 . 100   K . 17,38 + 19,35 J m o l . K

∆ E i n t = 4,62 k J m o l

Sabemos que o problema quer saber a variação da energia interna para 1 mol, então:

∆ E i n t = 4,62 k J m o l   x   1   m o l

∆ E i n t = 4,62   k J

Resposta

  1. c ' v = 3 R
  2. ∆ E i n t = 4,62   k J
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