Enunciado

O valor finito da resistividade elétrica dos dielétricos utilizados nos capacitores resulta em correntes não-nulas entre as placas do capacitor, denominadas correntes de fuga. Considere um capacitor de placas planas preenchido com um dielétrico de constante dielétrica κ e resistividade ρ . Uma figura de mérito do capacitor é produto R C , denominado constante de tempo.

a) Mostre que R C tem dimensão de tempo.

b) Mostre que R C = ρ κ ϵ 0 .

c) Calcule R C para a sílica, para a qual κ = 3,8 .

Passo 1

Primeiro temos que mostrar que o produto R C tem dimensão de tempo. Para isso, vamos olhar para as unidades da resistência R e da capacitância C .

Para a resistência, a unidade é Ω . Lembre-se que

V = R I → R = V I → Ω = V A

Portanto, a unidade da resistência é volt por ampere. Já para a capacitância, temos que

C = Q V → C = F = C V

Vemos que a unidade de capacitância é o faraday, definido como coulomb por volt. Multiplicando as unidades de R e C :

R C = Ω F = V A ⋅ C V = C A

Por fim, lembrando que ampere é coulomb por segundo:

R C = C C / s

Assim,

R C = s

PS: representamos a unidade de uma grandeza por   .

Passo 2

Agora vamos para o item (b)! Para um capacitor de placas planas no vácuo, temos que

C = ϵ 0 A d

Com um dielétrico entre as placas, temos

C = ϵ A d ,

onde ϵ = κ ϵ 0 . Com isso,

C = κ ϵ 0 A d

Já a resistência é dada por

R = ρ d A

Multiplicando as duas:

R C = κ ϵ 0 A d ⋅ ρ d A

Simplificando d e A :

R C = κ ϵ 0 ρ

Passo 3

Para a sílica, κ = 3,8 e ρ = 2,2 ⋅ 10 3   Ω m (tabela da página 83 do livro). Usando ϵ 0 = 8,85 ⋅ 10 - 12   C 2 / N m 2 , temos que

R C = 8,85 ⋅ 10 - 12 ⋅ 3,8 ⋅ 2,2 ⋅ 10 3

Fazendo as continhas:

R C = 7,4 ⋅ 10 - 8   s

Resposta

R C = s

R C = κ ϵ 0 ρ

R C = 7,4 ⋅ 10 - 8   s

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