Enunciado

O campo elétrico no interior de um meia cuja suscetibilidade elétrica varia na forma χ = a x , onde a é uma constante, é constante, com valor E → = E   i → . Calcule:

a) A expressão para a polarização elétrica P → x dentro do meio;

b) A expressão para o deslocamento elétrico D → x dentro do meio;

c) A expressão para a densidade de carga livre ρ L x dentro do meio.

Passo 1

A relação entre o deslocamento elétrico D → , o campo E → e a polarização P → é dada por

D → = ϵ 0 E → + P →

Além disso, a polarização se relaciona com o campo por

P → = ϵ 0 χ E →

Assim,

P → = ϵ 0 a E x   i →

Passo 2

Substituindo na expressão para D → :

D → = ϵ 0 E   i → + ϵ 0 a E x   i →

Logo,

D → = ϵ 0 E 1 + a x   i →

Para achar a densidade de carga livre, usamos a versão da lei de Gauss para o vetor D → :

∯ D → ⋅ d A → = q L

Mas a carga livre pode ser escrita como

q L = ∭ ρ L   d V

Usando o teorema da divergência, podemos escrever

∯ D → ⋅ d A → = ∭ ∇ ⋅ D →   d V

Com isso, achamos

∭ ∇ ⋅ D →   d V = ∭ ρ L   d V

Desta forma, achamos a versão diferencial (ou local) da lei de Gauss:

ρ L = ∇ ⋅ D →

Como D → só tem componente na direção x :

ρ L = ∂ D ∂ x = ϵ 0 E ∂ ∂ x 1 + a x

Logo,

ρ L = ϵ 0 E a

Resposta

P → = ϵ 0 a E x   i →

D → = ϵ 0 E 1 + a x   i →

ρ L = ϵ 0 E a

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