Enunciado

Uma válvula diodo de era pré-transistor contém um par de placas planas paralelas de espaçamento d , no vácuo. Estabelece-se entre elas uma diferença de potencial V . Um feixe de elétrons com secção transversal A e de velocidade inicial v 0 é emitido a partir de uma das placas (cátodo) e acelerado até a outra (ânodo), produzindo uma corrente elétrica estacionária de intensidade i .

  1. Calcule a velocidade v ( x ) de um elétron à distância x do cátodo.
  2. Calcule a densidade n ( x ) de elétrons no feixe como função de x .

Suponha que i é suficientemente fraco para que o campo gerado pelos elétrons seja desprezível em confronto com o campo acelerador.

Passo 1

Vamos lá! Lembra alguma coisa de cinemática?!

Então, temos um MRUV. A aceleração é provocada pela ação do campo elétrico. Agora é um bom momento para lembrarmos que a força elétrica pode ser escrita como

F e = q V d     .

Se levarmos em consideração que é a única força atuando, pela 2ª lei de Newton podemos escrever

q V d = m a

Passo 2

Prestando atenção no enunciado podemos observar que a partícula percorre uma distância x . Levando em consideração que a velocidade inicial é v 0 e a velocidade final é v , podemos recorrer a equação de Torricelli para escrever

v 2 = v 0 2 + 2 a x ⟹ a = v 2 - v 0 2 2 x

Substituindo na outra equação teremos

q V d = m   v 2 - v 0 2 2 x

Agora só precisamos isolar o v . Repare que substituiremos ele por v ( x ) , assim como q pela carga do elétron e .

v x = v 0 2 e V x m v 0 2 d + 1

Pronto resolvemos o item (a).

Passo 3

Para o item (b) precisamos lembrar que a densidade de corrente é

J = n q v   .

Sendo assim, podemos escrever a densidade como

n = J q v

Lembrar que a densidade de corrente também pode ser escrita como a razão da corrente pela secção transversal. Substituindo na última expressão teremos

n = i e A v 0 2 e V x m v 0 2 d + 1 - 1 2

Pronto, matamos o item (b).

Resposta

a )         v x = v 0 2 e V x m v 0 2 d + 1

b )                       n = i e A v 0 2 e V x m v 0 2 d + 1 - 1 2

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