Enunciado

Vamos calcular a posição y da carga caindo anexada ao guincho no Exemplo 9-8 como uma função do tempo por integração numérica. Deixe a direção + y ser reta para baixo. Então, v y = d y / d t , ou

t = ∫ 0 y 1 v ( y ' ) d y ' ≈ ∑ t = 0 N 1 v y ' ∆ y '

onde t é o tempo necessário para o balde cair uma distância y ,   Δ y   ' é um pequeno incremento de y ' ,e y ' = N ∆ y ' . Portanto, podemos calcular t em função de d pela soma numérica. Faça um gráfico de y versus t entre 0   s e 2,00   s . Suponha m g = 10,0   k g , R = 0,50   m , m b = 5,0   k g , L   =   10,0   m e m c = 3,50   k g . Use Δ y   ' = 0,10   m . Compare esta posição com a posição da carga em queda, se estiver em queda livre.

Passo 1

Vamos utilizar o princípio de conservação de energia para todo o sistema, composto pela Terra, o balde, o guincho e o cabo:

K f + U f = K i + U i

Fazemos a energia potencial inicial ser igual a zero, e como o bloco começa a cair nesse momento, a energia cinética também será zero, portanto:

K f + U f = 0

Passo 2

Agora vamos escrever a energia potencial final de cada membro do sistema:

U f = U b + U c + U g

Como o guincho está parado, não ocorre variação em sua energia potencial, como a inicial é zero, a final também será, então:

U f = U b + U c

U f = - m b g y - m c ' g y 2

Sendo m c ' a massa apenas da parte pendurada do cabo.

Podemos então relacionar em termos de densidade a massa total do cabo com a massa m c ' :

ρ = m c L = m c ' y

m c ' = y m c L

A equação do potencial final então será:

U f = - m b g y - m c 2 L g y 2

Passo 3

E a energia cinética final será:

K f = K b + K c + K g

O cabo, o balde e a borda do guincho possuem mesma velocidade linear, já que os dois primeiros caem em conjunto, o guincho irá girar com a mesma velocidade em que os dois caem:

K f = 1 2 m b v 2 + 1 2 m c v 2 + 1 2 I ω g 2

Escrevendo o momento de inercia e a velocidade angular como:

I = 1 2 m g R 2

ω g = v R

Ficamos com:

K f = 1 2 m b v 2 + 1 2 m c v 2 + 1 2 1 2 m g R 2 v R 2

K f = 1 2 m b v 2 + 1 2 m c v 2 + 1 4 M v 2

Passo 4

Substituindo a energia cinética final e a energia potencial final la na equação do Passo 1, teremos:

- m b g y - m c 2 L g y 2 + 1 2 m b v 2 + 1 2 m c v 2 + 1 4 M v 2 = 0

Isolando v:

v = 4 m g y + 2 m c 2 L g y 2 M + 2 m b + 2 m c

E a solução dada no gráfico abaixo, foi calculada utilizando a expressão de soma do enunciado:

A linha laranja representa a queda livre conforme o somatório e a linha azul conforme a queda livre real.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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