Enunciado

Uma vara de massa m e comprimento l (Fig. 4.40) é colocada num hemisfério de raio r completamente sem atrito. Determine a posição de equilíbrio da vara. Calcule as reações do hemisfério sobre a vara. Discuta as soluções correspondentes a l   >   2 r e l   <   2 r .

Passo 1

E aí, beleza?? Primeiramente, vamos analisar o caso l < 2 r . Nesse caso, a barra fica totalmente dentro do hemisfério e as reações normais em suas extremidades apontam para o centro deste, e cruzando nesse ponto. Pelo teorema das três forças, demonstrado em um dos exercícios deste capítulo, sabemos que em um sistema estático submetido a três forças, elas devem se encontrar em um único ponto. Assim, concluímos que a força peso também deve ter sua linha de ação passando pelo centro do hemisfério. Portanto, a única situação de equilíbrio possível é quando a barra está na horizontal, de maneira simétrica, como na figura a seguir:

Assim, as reações são iguais e valem:

2 N   s e n α = P

s e n α = 1 - cos 2 ⁡ α = 1 - l 2 r 2

Portanto:

N = P 2 1 - l 2 r 2

Passo 2

Agora para o caso l > 2 r , uma das extremidades da barra fica para fora do hemisfério. Considere a seguinte ilustração:

Da geometria do problema, temos que as três forças se cruzam em um único ponto ( B ) e esse ponto está sobre a circunferência, uma vez que a força N 2 é perpendicular à barra. O ângulo D O A vale 2 θ pois é ângulo central. Note, portanto, que as projeções horizontais de A B e A M são iguais, com isso:

2 r cos ⁡ ( 2 θ ) = l 2 cos ⁡ ( θ )

Passo 3

Assim, vem:

2 cos 2 ⁡ θ - l 4 r cos ⁡ θ - 1 = 0

Resolvendo a equação, vem:

Δ = l 2 16 r 2 + 8

Portanto, como ficamos com a solução positiva, vem:

cos ⁡ θ = l 4 r + l 2 16 r 2 + 8 4

Passo 4

Para N 2 , podemos escrever a equação do torque em relação ao ponto A :

N 2 ∙ 2 r cos ⁡ θ = P l 2 cos ⁡ θ ∴ N 2 = l 4 r P  

Escrevendo o equilíbrio rotacional agora, em torno do ponto C , vem:

N 1 ∙ 2   r   s e n θ = P l 2 cos ⁡ θ

N 1 = l 4 r P tan ⁡ ( θ )

Resposta

(a)

N 1 = N 2 = N = P 2 1 - l 2 r 2

θ = 0 °

(b)

N 1 = l 4 r P tan ⁡ ( θ )

N 2 = l 4 r P

θ = acos ⁡ l 4 r + l 2 16 r 2 + 8 4

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