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Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick - Capítulo 13.Problemas Adicionais - Ex. 99

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Vários planetas (Júpiter, Saturno, Urano) possuem anéis, talvez formados por fragmentos que não chegaram a formar um satélite. Muitas galáxias também contêm estruturas em forma de anéis. Considere um anel fino homogêneo de massa M e raio externo R . (Veja a figura). (a) Qual é a atração gravitacional que o anel exerce sobre uma partícula de massa m localizada no eixo central do anel a uma distância x do centro do anel? (b) Suponha que a partícula do item (a) seja liberada a partir do repouso. Com que velocidade ela passa pelo centro do anel?

Passo 1

Vamos começar lembrando da fórmula para a força gravitacional entre dois corpos:

F = G M m r 2

Nesse caso, pode ser mais simples calcular a força através da energia potencial gravitacional U , lembrando que:

F = - d U d x

Onde a energia U é dada por:

U = - G M m r

Passo 2

Agora vamos pensar na distância d entre a massa m e um ponto qualquer do anel:

Pelo Teorema de Pitágoras, podemos escrever o seguinte:

d 2 = x 2 + R 2

d = x 2 + R 2

E perceba que essa distância é a mesma para todos os pontos do anel, que tem massa total M , então podemos escrever a expressão para U da seguinte forma:

U = - G M m x 2 + R 2

Passo 3

E podemos derivar essa expressão para encontrar o módulo da força gravitacional:

F = - d U d x = d d x G M m x 2 + R 2

Precisamos aplicar a regra da cadeia para resolver essa derivada:

F = 1 2 G M m x 2 + R 2 3 / 2 ( 2 x )

F = G M m x x 2 + R 2 3 / 2

Mas isso não resolve nosso problema , porque a força precisa de uma direção e um sentido. Perceba que para cada ponto no anel circular, existe outro ponto na exata direção oposta:

Então, em cada um desses pares, podemos ver que todas as componentes da força na direção vertical vão se cancelar, enquanto as horizontais vão se somar.

Então a força resultante sobre a partícula vai apontar na direção do centro do anel, ao longo do eixo x .

Passo 4

(b) Agora queremos calcular a velocidade da partícula quando ela chega até o centro do anel. Vamos pensar em termos de conservação de energia:

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

Inicialmente, a partícula está parada ( K 1 = 0 ) e tem a energia potencial U que calculamos no passo 2 :

- G M m x 2 + R 2 = K 2 + U 2

E quando chega até o centro do anel ( x = 0 ), a energia potencial será dada por:

U 2 = - G M m R

E a energia cinética será:

K 2 = 1 2 m v f 2

Então:

- G M m x 2 + R 2 = 1 2 m v f 2 - G M m R

Podemos usar isso para calcular a velocidade:

1 2 m v f 2 = G M m   1 R - 1 x 2 + R 2

Agora é só isolar:

v f = 2 G M   1 R - 1 x 2 + R 2

Resposta

(a) A atração gravitacional será F = G M m x x 2 + R 2 3 / 2 , apontando em direção ao centro do anel, ao longo do eixo x .

(b) A velocidade da partícula ao passar pelo centro do anel será v f = 2 G M   1 R - 1 x 2 + R 2 .

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