Enunciado

Acústica das cachoeiras. O impacto turbulento da água de uma cachoeira faz o solo oscilar em uma larga faixa de baixas frequências. Se a água cai livremente (em vez de bater nas pedras enquanto desce), as oscilações são maiores em uma frequência particular f m . Este fato sugere que o fenômeno se deve a uma ressonância acústica e que f m é a frequência fundamental. A tabela a seguir mostra, para nove cachoeiras americanas e canadenses, os valores medidos de f m e da altura L da queda livre da água. Mostre como representar os dados em um gráfico para obter a velocidade do som na água da cachoeira. A partir do gráfico, calcule a velocidade do som se a ressonãncia for como a ressonãncia em um tubo (a) com a duas extremidades abertas e (b) com apenas uma extremidade aberta. A velocidade do som em uma água turbulenta contendo bolhas de ar pode ser cerca de 25 % menor que a sua velocidade de 1400   m / s em água parada. (c) A partir das respostas dos itens (a) e (b), determine quantas extremidades abertas estão efetivamente envolvidas na ressonância de uma cachoeira.

Passo 1

Já que vamos modelar a ressonância como se acontecesse em um tubo, é interessante fazer um gráfico de f em função do inverso de L , já que as fórmulas para as frequências de ressonância dos tubos são:

f = v 2 L   ( a b e r t o )

f = v 4 l   ( u m a   e x t r e m i d a d e   f e c h a d a )

Ou seja, L aparece no denominador nos dois casos. O gráfico fica da seguinte forma:

E usando o método dos mínimos quadrados para ajustar uma reta a esses dados, ficamos com a seguinte equação:

f = 276   1 L + 0,03

Passo 2

(a) No caso em que modelamos esse sistema como um tubo com as duas extremidades abertas em n = 1 , temos:

f = v 2 L

Nesse caso, teríamos que desprezar o coeficiente linear 0,03 , e fazer a seguinte igualdade por comparação:

v 2 = 276

v = 2 276 = 553   m / s

Passo 3

(b) No caso em que modelamos esse sistema como um tubo em que apenas uma extremidade está aberta:

f = v 4 L

Então, pela mesma lógica de antes, encontramos o seguinte:

v 4 = 276

v = 1106   m / s

Passo 4

(c) A velociade calculada no item (b) é significativamente mais próxima da velocidade de 1440   m / s que foi mencionada no enunciado.

Portanto, podemos estimar que esse problema é melhor modelado como um tubo que tem apenas uma extremidade aberta.

Resposta

(a) v = 553   m / s .

(b) v = 1106   m / s .

(c) Uma extremidade aberta.

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