Enunciado

A velocidade de uma partícula é dada por v x t = 6,0 m s 2 t + 3,0 m s . (a) Esboce o gráfico v vs. t e encontre a área sob a curva para o intervalo que vai de t = 0 até t = 5,0   s . (b) Encontre a função x ( t ) da posição. Use-a para calcular o deslocamento durante um intervalo de t = 0 até t = 5,0   s .

Passo 1

(a) Queremos fazer o gráfico da seguinte função:

v x t = 6,0   t + 3,0

Essa é uma função de primeiro grau, então o nosso gráfico será uma reta com inclinação 6 e que cruza o eixo vertical no ponto v x = 3,0   m / s .

Para desenhar isso no papel você pode fazer o seguinte, desenho o plano x - y e marque dois pontos quaisquer da função, por exemplo:

v x 0 = 3,0   m / s

v x 2 = 6,0 2 + 3,0 = 15   m / s

E depois é só traçar uma reta unindo os dois pontos:

Passo 2

E o enunciado pediu para calcularmos a área sob esse gráfico no intervalo que vai de t = 0   s até t = 5,0   s .

Nesse caso, a área sob o gráfico tem o formato de um trapézio, e temos que usar a seguinte fórmula para calcular a área:

A = B + b h 2

E nesse caso:

E olhando mais perto no gráfico vemos que b = x 0 = 3 e B = x 5 = 33 , então:

A = 33 + 3 5 2

A = 90   m

Passo 3

(b) Vamos lembrar da relação entre a velocidade e a posição:

v t = d x d t

Ou, tomando o caminho contrário:

x t = ∫ 0 t v t d t

Então vamos integrar a função dada pelo enunciado para encontrar a função da posição:

x t = ∫ 0 t 6,0 t + 3,0   d t

x t = 1 2 6,0   t 2 + 3,0   t t 0

x t = 3,0 m s 2 t 2 + 3,0 m s t

Passo 4

(b) E agora vamos usar essa função para calcular o deslocamento no intervalo t = 0 até t = 5   s :

x 0 = 0

x 5 = 1 2 6,0   5 2 + 3,0   5 = 90   m

E então o deslocamento total é:

Δ x = x 5 - x 0 = 90   m

Resposta

(a) A área sob o gráfico resulta em 90   m .

(b) x t = 3,0 m s 2 t 2 + 3,0 m s t .

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