Enunciado

Vento adiabático. Normalmente, o vento nas Montanhas Rochosas é de oeste para leste. Ao subir a encosta ocidental das montanhas, o ar esfria e perde boa parte da umidade. Ao descer a encosta oriental, o aumento da pressão com a diminuição da altitude faz a temperatura do ar aumentar. Esse fenômeno, conhecido como vento chinook, pode aumentar rapidamente a temperatura do ar na base das montanhas. Suponha que a pressão p do ar varia com a altitude y de acordo com a equação p = p 0 e - a y , onde p 0 = 1,00   a t m e a = 1,16.10 - 4 m - 1 . Suponha também que a razão entre os calores específicos molares é γ = 4 / 3 . Uma certa massa de ar, a uma temperatura inicial de - 5,00 ° C , desce adiabaticamente de y 1 = 4267   m para y 2 = 1567   m . Qual é a temperatura do ar no fim da descida?

Passo 1

Uma coisa que é bom você saber fazer é adaptar aquela relação básica das transformações adiabáticas:

p V γ = c o n s t a n t e

De forma que substitua o volume pela temperatura. Exatamente pra resolver questões como essa, em que a transformação é adiabática, mas o enunciado não está interessado no volume.

É só pegar a lei dos gases ideais e isolar o volume:

p V = n R T

V = n R T p

Depois substituir isso de volta na equação de cima:

p n R T p γ = p 1 - γ n R T γ = c o n s t a n t e

E podemos juntar o n R naquela constante, e a fórmula fica simplesmente:

p 1 - γ T γ = c o n s t a n t e

Passo 2

Beleza, agora vamos aplicar essa propriedade na situação do enunciado:

p i 1 - γ T i γ = p f 1 - γ T f γ

Vamos isolar a temperatura final:

T f γ = p i p f 1 - γ T i γ

Elevando tudo a 1 / γ   :

T f = p i p f 1 γ - 1 ( T i )

Passo 3

Agora podemos substituir os valores e as funções das pressões:

T f = p i p f - 1 4 ( T i )

T f = p 0 e - a y i p 0 e - a y f - 1 4 ( 268 )

T f = e - a ( y i - y f ) - 1 4 ( 268 )

T f = e - ( 1,16.10 - 4 ) ( 4267 - 1567 ) - 1 4 ( 268 )

T f = 289,8278   K

Então:

T f ≅ 290   K

Resposta

A temperatura final é 290   K .

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