Enunciado

Verifique que r__|_ + t__|_ = r_// // + t_// // = 1

Passo 1

Antes de deduzir a expressão do enunciado, vamos dar uma olhada em algumas coisas. A taxa de refletividade é dada por:

r__|_ = ((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 )))

Para uma onda linearmente incidente, além da reflexão perpendicular ao plano, ainda temos a reflexão paralela. Essa é dada por:

r_// // = ((t g^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(t g^2 ( theta_1 + theta_2 )))

Ainda, temos duas expressões, que fornecem para nós as taxas de transmissividade, sendo que essas taxas possuem uma componente perpendicular ao plano de incidência e paralelo a esse plano. São elas:

t__|_ = ((s i n ( 2 theta_1 ) s i n ( 2 theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 )))

t_// // = ((s i n ( 2 theta_1 ) s i n ( 2 theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 + theta_2 )))

Passo 2

Pelo enunciado, r__|_ + t__|_ = 1 . Nessa expressão se resume a dizer que dentre as duas taxas, a soma entre as duas é um resultado de 100 % .

Para deduzimos isso, precisamos somar as suas componentes perpendiculares. De resto, faremos apenas dedução algébrica. Vamos começar somando as duas expressões, em que:

r__|_ + t__|_ =

((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))) + ((s i n ( 2 theta_1 ) s i n ( 2 theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))) =

Passo 3

Iremos tirar primeiro o MMC entre as duas expressões. Repare que as duas possuem um denominador comum, então como resultado teremos:

((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))) + ((s i n ( 2 theta_1 ) s i n ( 2 theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))) =

((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) + s i n ( 2 theta_1 ) s i n ( 2 theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))) =

Passo 4

Nesse passo diante será feito uma dedução algébrica, podendo haver outros caminhos. O caminho escolhido aqui será abrir os arcos duplos, em que:

s i n ( 2 theta_1 ) = 2 s i n (2 theta_1) c o s (2 theta_1)

Além disso abriremos a expressão s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) usando a relação trigonométrica:

s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) + c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ) = 1

ou podemos reescrevê-la:

s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) = 1 - c o s^2 ( theta_1 - theta_2 )

Quando fazemos essas substituições, temos que a expressão inicial ficará:

((1 - c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ) + 2 s i n (2 theta_1) c o s (2 theta_1) ) 2 s i n (2 theta_2) c o s (2 theta_2))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))) =

Passo 5

Aqui abriremos outro arco duplo. Temos na expressão do passo anterior o arco duplo trigonométrico c o s ( theta_1 - theta_2 ) . Isso pode ser escrito da seguinte forma:

c o s ( theta_1 - theta_2 ) = c o s theta_1 c o s theta_2 + s i n theta_1 s i n theta_2

Substituindo, temos que a expressão resultante será:

((1 - (c o s theta_1 c o s theta_2 + s i n theta_1 s i n theta_2)^2 + 2 s i n (theta_1) c o s (theta_1) ) 2 s i n (theta_2) c o s (theta_2))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))) =

Passo 6

Elevando ao quadrado e fazendo as multiplicações devidas (não esquecendo nenhum sinal) na expressão do passo anterior, teremos como resultado:

((1 - c o s^2 theta_1 c o s^2 theta_2 - 2 s i n theta_1 s i n theta_2 c o s theta_1 c o s theta_2 - s i n^2 theta_1 s i n^2 theta_2 + 4 s i n (theta_1) c o s (theta_1) ) s i n (theta_2) c o s (theta_2))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))) =

Simplificando com os termos semelhantes, teremos como resultado:

((1 - c o s^2 theta_1 c o s^2 theta_2 + 2 s i n theta_1 s i n theta_2 c o s theta_1 c o s theta_2 - s i n^2 theta_1 s i n^2 theta_2)/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 )))

Pondo o sinal de - na expressão acima, podemos reescrevê-la como:

((1 - ( c o s^2 theta_1 c o s^2 theta_2 - 2 s i n theta_1 s i n theta_2 c o s theta_1 c o s theta_2 + s i n^2 theta_1 s i n^2 theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 )))

Passo 7

Reparemos que o termo entre parênteses no termo anterior, pode ser identificado como:

c o s^2 theta_1 c o s^2 theta_2 - 2 s i n theta_1 s i n theta_2 c o s theta_1 c o s theta_2 + s i n^2 theta_1 s i n^2 theta_2 = (c o s theta_1 c o s theta_2 - s i n theta_1 s i n theta_2)^2

Substituindo a expressão acima, temos como resultado:

((1 - (c o s theta_1 c o s theta_2 - s i n theta_1 s i n theta_2)^2)/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 )))

Passo 8

A expressão entre parênteses no numerador é um arco duplo que pode ser reescrito como:

c o s theta_1 c o s theta_2 - s i n theta_1 s i n theta_2 = c o s (theta_1 + theta_2)

Quando substituímos na expressão inicial, temos que:

((1 - (c o s (theta_1 + theta_2))^2)/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))) =

Passo 9

Como passo final, sabemos que:

1 - (c o s (theta_1 + theta_2))^2 = s i n^2 ( theta_1 + theta_2 )

Quando substituirmos essa expressão na do passo anterior teremos que:

((s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))) =

Passo 10

Como o numerador é igual ao denominador teremos como resultado:

((s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))) = 1

Passo 11

A outra parte do problema pede para deduzimos que r_// // + t_// // = 1 . Para isso precisaremos das expressões para as componentes do plano de incidência. Somando os dois ficaremos com:

r_// // + t_// // =

((t g^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(t g^2 ( theta_1 + theta_2 ))) + ((s i n ( 2 theta_1 ) s i n ( 2 theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Passo 12

No início, vamos pôr as duas expressões com um denominador em comum. Para isso, vamos mexer na primeira expressão da esquerda para a direita. Vamos fazer da seguinte maneira:

((t g^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(t g^2 ( theta_1 + theta_2 ))) = (((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(c o s^2 ( theta_1 - theta_2 )))/((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ))))

Reescrevendo a expressão à fim de diminuir o número de frações, façamos a razão entre as duas frações do termo a direita da igualdade da expressão anterior. Assim:

(((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(c o s^2 ( theta_1 - theta_2 )))/((s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))/(c o s^2 ( theta_1 + theta_2 )))) = ((c o s^2 ( theta_1 + theta_2 ) s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ) s i n^2 ( theta_1 + theta_2 )))

Assim, na parte final teremos que:

((c o s^2 ( theta_1 + theta_2 ) s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) + ((s i n ( 2 theta_1 ) s i n ( 2 theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Repare que aqui estamos com um denominador em comum.

Passo 13

De acordo com a expressão do passo anterior, podemos com facilidade aplicar o MMC. Assim teremos como resultado:

((c o s^2 ( theta_1 + theta_2 ) s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) + s i n ( 2 theta_1 ) s i n ( 2 theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Aqui podemos abrir trigonometricamente a expressão:

c o s^2 ( theta_1 + theta_2 ) ^() = 1 - s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) ^()

Substituindo na expressão, ficaremos com:

((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) [1 - s i n^2 ( theta_1 + theta_2 )] + s i n ( 2 theta_1 ) s i n ( 2 theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Vamos agora abrir os dois arcos duplos, do lado direito:

s i n ( 2 theta_2 ) = 2 s i n (theta_1) s i n (theta_2)

s i n ( 2 theta_1 ) = 2 s i n (theta_1) s i n (theta_1)

Assim teremos como resultado:

((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) [1 - s i n^2 ( theta_1 + theta_2 )] + 4 s i n (theta_1) s i n (theta_2) s i n (theta_1) s i n (theta_1))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Fazendo a distributiva, temos como resultado:

((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) - s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) + 4 s i n (theta_1) s i n (theta_2) s i n (theta_1) s i n (theta_1))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Podemos aqui abrir novamente, uma outra relação trigonométrica, que é a segunda expressão da esquerda para a direita. Assim:

s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) ^() = 1 - c o s^2 ( theta_1 + theta_2 ) ^()

Assim teremos como resultado:

((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) - s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) [1 - c o s^2 ( theta_1 + theta_2 )] + 4 s i n (theta_1) s i n (theta_2) s i n (theta_1) s i n (theta_1))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Passo 14

Podemos aqui fazer a distributiva no segundo termo:

((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) - s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) + s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 + theta_2 ) + 4 s i n (theta_1) s i n (theta_2) s i n (theta_1) s i n (theta_1))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Podemos simplificar as duas primeiras expressões da esquerda para direita, assim teremos como resultado:

((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 + theta_2 ) + 4 s i n (theta_1) s i n (theta_2) s i n (theta_1) s i n (theta_1))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

De novo, podemos abrir outra relação trigonométrica como foi feita nos passos anteriores, ficamos assim com:

((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) [1 - s i n^2 ( theta_1 + theta_2 )] + 4 s i n (theta_1) s i n (theta_2) s i n (theta_1) s i n (theta_1))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Ao aplicarmos a distributiva teremos que:

((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) - s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) + 4 s i n (theta_1) s i n (theta_2) s i n (theta_1) s i n (theta_1))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Passo 15

De acordo com a distributiva, temos que:

((s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) - s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) + 4 s i n (theta_1) s i n (theta_2) s i n (theta_1) s i n (theta_1))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Podemos aqui abrir o arco duplo s i n ( theta_1 - theta_2 ) . Assim, a expressão terá como resultado:

(((s i n theta_1 c o s theta_2 - s i n theta_2 c o s theta_1)^2 - s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) + 4 s i n (theta_1) s i n (theta_2) s i n (theta_1) s i n (theta_1))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Elevando ao quadrado o primeiro termo da esquerda para a direita, temos então que:

((s i n^2 theta_1 c o s^2 theta_2 - 2 s i n theta_1 s i n theta_2 c o s theta_1 c o s theta_2 + s i n^2 theta_2 c o s^2 theta_1 - s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) + 4 s i n (theta_1) s i n (theta_2) s i n (theta_1) s i n (theta_1))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Passo 16

Simplificando os termos da expressão anterior, temos que:

((s i n^2 theta_1 c o s^2 theta_2 + 2 s i n (theta_1) s i n (theta_2) s i n (theta_1) s i n (theta_1) + s i n^2 theta_2 c o s^2 theta_1 - s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Sabemos que:

s i n^2 theta_1 c o s^2 theta_2 + 2 s i n (theta_1) s i n (theta_2) s i n (theta_1) s i n (theta_1) + s i n^2 theta_2 c o s^2 theta_1 = (s i n theta_1 c o s theta_2 + s i n theta_2 c o s theta_1)^2

Assim, temos como resultado:

(((s i n theta_1 c o s theta_2 + s i n theta_2 c o s theta_1)^2 - s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Fechando o arco duplo s i n theta_1 c o s theta_2 + s i n theta_2 c o s theta_1 , temos que:

s i n theta_1 c o s theta_2 + s i n theta_2 c o s theta_1 = s i n (theta_1 + theta_2)

Assim, teremos como resultado:

(((s i n (theta_1 + theta_2))^2 - s i n^2 ( theta_1 - theta_2 ) s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Passo 17

Abrindo a relação trigonométrica na segunda expressão da esquerda para a direita, teremos que:

(((s i n (theta_1 + theta_2))^2 - s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) [1 - c o s^2 ( theta_1 - theta_2 )])/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Fazendo a distributiva, temos que:

((s i n^2 (theta_1 + theta_2) - s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) + s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Simplificando os dois primeiros termos, temos que:

((s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) =

Como o termo de cima, é semelhante ao termo do denominador, assim temos como resultado:

((s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))/(s i n^2 ( theta_1 + theta_2 ) c o s^2 ( theta_1 - theta_2 ))) = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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