Enunciado

Um vetor 7,0 unidades de comprimento e um vetor com 5,5 unidades dde comprimento são somados. Sua soma é um vetor com 10,0 unidades de comprimento. (a) Mostre graficamente pelo menos uma maneira pela qual esses vetores podem ser somados. (b) Usando seu esboço da Parte (a), determine o âgulo entre os dois vetores originais.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O que ele quer é que a gente faça um esboço de uma soma vetorial que tenha as características do enunciado.

Vamos chamar de A → o vetor de 7 unidades e B → , o vetor com 5,5 unidades. O vetor C → será o vetor resultante da soma e portanto vale 10 unidades.

C → = A → + B →

O esboço dessa soma pode ser um triângulo, que é dado por:

Repara que o B → começa no final do vetor A → . E o vetor C → começa no inicio do vetor A → e termina no final do vetor B → .

A gente colocou o vetor A → paralelo ao eixo x só para facilitar as continhas futuras, tá?

Prontinho, é assim que podemos representar nossa soma vetorial.

Passo 2

b) Para descobrir o ângulo entre A → e B → , temos que lembrar que se

A → + B → = C →

Então vale que

A x + B x = C x

A y + B y = C y

Podemos achar essas componentes dos vetores usando os ângulos que estão na nossa figura.

- Para o vetor A → .

Como ele está paralelo ao eixo x , a componente C x dele é o próprio módulo do vetor. E a componente em y vai ser zero.

C x = 7,0

C y = 0

- Para o vetor B → .

O ângulo que dá a orientação desse vetor é o θ . Como o ângulo θ está colado no eixo x , a componente B x vai ser o valor do módulo do vetor vezes o cosseno de θ :

B x = 5,5 cos ⁡ θ

E a componente y vai usar o seno

B y = 5,5   s e n   θ

- Para o vetor C → .

O ângulo que dá a orientação desse vetor é o α . Ele está colado em x , então vamos usar o cosseno para C x e o seno para C y :

C x = 10 cos ⁡ α

C y = 10   s e n   α

Passo 3

Voltando as nossas equações

A x + B x = C x

A y + B y = C y

Substituindo as componentes, temos:

7 + 5,5 cos ⁡ θ = 10 cos ⁡ α

5,5 sin ⁡ θ = 10 sin ⁡ α

Elevando ao quadrado e somando as equações, temos:

7 + 5,5 cos ⁡ θ 2 = 10 cos ⁡ α 2

5,5 sin ⁡ θ 2 = 10 sin ⁡ α 2

7 + 5,5 cos ⁡ θ 2 + 5,5 sin ⁡ θ 2 = 10 sin ⁡ α 2 + 10 cos ⁡ α 2

49 + 77 cos ⁡ θ + 30,25 cos 2 ⁡ θ + 30,25 sin 2 ⁡ θ = 100 cos 2 ⁡ α + 100 sin 2 ⁡ α

Usando, sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 , temos:

49 + 77 cos ⁡ θ + 30,25 = 100

cos ⁡ θ = 20,75 77

θ = cos - 1 ⁡ 20,75 77

θ = 74,4 °

Resposta

b ) θ = 74,4 °

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine as componentes x e y dos seguintes três vetores do plano x y . (a) Um vetor deslocamento de10m que forma um ângulo de 30 ° no sentido horário a partir do eixo + y . (b) Um vetor velocidade d
Você caminha 100m em linha reta em um plano horizontal. Se esta caminhada o levou 50m para o leste, quais são seus possíveis movimentos para o norte ou para o sul? Quais são os possíveis ângulos que s
Os vetores unitários i ^ e j ^ apontam para o leste e o norte, respectivamente. Calcule o vetor unitário (em termos de i ^ e j ^ ) das seguintes orientações: (a) Para nordeste, (b) 70 ° medidos no sen
Calcule o vetor unitário (em termos de i ^ e j ^ ) com a orientação oposta à orientação de cada um dos vetores A → ,B → e C → do Problema 57.