Enunciado

Os vetores unitários A ^ e B ^ estão no plano xy. Eles formam os ângulos θ 1 e θ 2 , respectivamente, com o eixo +x. (a) Use trigonometria para encontrar diretamente as componentes x e y dos dois vetores. (Sua resposta deve ser em termos dos ângulos.) (b) Considerando o produto escalar de A ^ por B ^ , mostre que cos ⁡ θ 1 - θ 2 = c o s θ 1 c o s θ 2 + s e n θ 1 s e n θ 2 .

Passo 1

Letra (a)

Olá, querido! Como vai aí esse coração? Bora começar!

Ele quer que a gente ache as componentes de A → e B → . Ele diz que A → faz um ângulo θ 1 com o sentido positivo de x . E B → faz um ângulo θ 2 com o sentido positivo de x . E que esses vetores são unitários, ou seja, o módulo desses dois caras vale 1.

Vamos fazer um esquema dessa situação:

Vamos considerar que θ 1 é maior que θ 2 . A componente de A → em x , que a gente vai chamar de A x , a gente pode obter usando uma relação da trigonometria:

c o s θ 1 = A x | A ^ |

Só que o módulo de A ^ é A ^ = 1 , porque é um vetor unitário. Então:

A x = c o s θ 1

Para a gente achar a componente y , fazemos um raciocínio análogo:

s e n   θ 1 = A y A ^

Já que A ^ = 1 :

A y = s e n θ 1

Passo 2

Usando exatamente a mesma ideia, a gente tira que:

c o s θ 2 = B x | B ^ |

Como B ^ também é unitário, temos B ^ = 1 , logo:

B x = c o s θ 2

E para y :

s e n   θ 2 = B y B ^

B y = s e n θ 2

Passo 3

Letra (b)

Como ele fala de produto escalar, vamos fazer o produto escalar A ^ ∙ B ^ . Temos que

A ^ = A x , A y = c o s θ 1 i ^ + s e n θ 1 j ^

B ^ = B x , B y = c o s θ 2 i ^ + s e n θ 2 j ^

Então o produto escalar fica:

A ^ ∙ B ^ = c o s θ 1 i ^ + s e n θ 1 j ^ ∙ c o s θ 2 i ^ + s e n θ 2 j ^

Para calcular esse produto escalar a gente faz o produto entre as componentes i ^ de cada vetor e soma ao produto entre as componentes j ^ de cada vetor:

A ^ ∙ B ^ = c o s θ 1 c o s θ 2 + s e n θ 1 s e n θ 2             E q .   1

Passo 4

Agora a gente tem que lembrar que o produto escalar tem outra expressão:

A ^ ∙ B ^ = A ^ B ^ c o s θ

Sendo que A ^ = B ^ = 1 , pois são vetores unitários, e θ é o ângulo entre eles. Substituindo esses módulos ali na expressão:

A ^ ∙ B ^ = c o s θ

Mas quem é vai ser θ ? Vamos fazer uma figura com os dois vetores juntos para achar θ :

Da figura a gente vê que como a gente considerou que θ 1 era maior podemos dizer que: θ = θ 1 - θ 2 . Então o produto escalar fica assim:

A ^ ∙ B ^ = cos ⁡ θ 1 - θ 2             E q .   2

Obs: a gente até poderia ter considerado θ 2 maior. Não faz diferença. Se θ 2 fosse maior, teríamos que θ = θ 2 - θ 1 . Só que jogando isso no produto escalar, poderíamos fazer:

A ^ ∙ B ^ = cos ⁡ θ 2 - θ 1 = cos ⁡ - θ 1 - θ 2

E como a função cosseno tem essa propriedade: cos ⁡ x = cos ⁡ - x , poderíamos dizer:

A ^ ∙ B ^ = cos ⁡ - θ 1 - θ 2 = cos ⁡ θ 1 - θ 2

Que dá a mesma coisa que a gente achou quando fez θ 1 ser maior!

Passo 5

Temos duas expressões para o produto escalar entre nossos vetores agora:

A ^ ∙ B ^ = c o s θ 1 c o s θ 2 + s e n θ 1 s e n θ 2             E q .   1

A ^ ∙ B ^ = cos ⁡ θ 1 - θ 2             E q .   2

Igualando a equação 1 com a equação 2:

cos ⁡ θ 1 - θ 2 = c o s θ 1 c o s θ 2 + s e n θ 1 s e n θ 2

Resposta

Letra (a): A x = c o s θ 1 , A y = s e n θ 1 ,   B x = c o s θ 2 , B y = s e n θ 2

Letra (b): ver solução

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