Enunciado

Em um encontro de mímicos, o mímico 1 se desloca de d 1 →   =   4,0   m i ^   +   5,0   m j ^ e o mímico 2 se desloca de d 2 → = - 3,0   m i ^   + 4,0   m j ^ . Determine (a) d 1 → × d 2 → , (b) d 1 → · d 2 → , (c) d 1 → + d 2 → . .   d 2 → e (d) a componente de d 1 → em relação a d 2 →   . [Sugestão: para resolver o item (d), veja a Eq. 3-20 e a Fig. 3-18.]

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, os dois vetores que representam a posição de cada mimico são dados por:

d → 1 =   4,0   m i ^   +   5,0   m j ^

d → 2 = - 3,0   m i ^   + 4,0   m j ^

Passo 2

O produto vetorial pode ser obtifo através da relação:

d → 1 × d → 2 = d 1 x d 1 y d 2 x d 2 y k ^

d → 1 × d → 2 = 4 5 - 3 4 k ^

Então calculando o determinante da matriz acima, obtemos que o produto vetorial entre os vetores é:

d → 1   ×   d → 2 = 4,0 4,0 - 5,0 - 3,0 k ^

d → 1   ×   d → 2 = 31 k ^

Passo 3

Belezoca, e agora o produto escalar pode ser calculado através do produto termo a termo, de forma que:

d → 1 ⋅   d → 2 = 4 - 3 + 5 4

d → 1 ⋅   d → 2 = 8

Passo 4

Já no item (c), estamos afim de encontrar o produto escalar entre a soma dos vetores d → 1 + d → 2 e o vetor d → 2 , tal que distribuindo o produto escalar:

d → 1 + d → 2 ⋅ d → 2 = d → 1 ⋅ d → 2 + d → 2 ⋅ d → 2

E já vimos que d → 1 ⋅   d → 2 = 8 , então só nos resta calcular d → 2 ⋅ d → 2 , de forma que:

d → 1 + d → 2 ⋅ d → 2 = 8 + [ - 3 2 + 4 2 ]

d → 1 + d → 2 ⋅ d → 2 = 8 + 9 + 16

d → 1 + d → 2 ⋅ d → 2 = 33

Passo 5

O produto escalar de d → 1   e   d → 2 é 6,4 5,0 cos ⁡   θ   =   8 . Dividindo ambos os membros por 32 e tomando o cosseno inverso, obtemos θ   =   75,5 ° . Assim, a componente do vetor d → 1 em relação a d → 2 é:

6,4   . cos ⁡ 75,5     ≈   1,6

De boa , pessoal ??? Bora resolver mais execícios

Resposta

  1. d → 1   ×   d → 2 = 31 k ^
  2. d → 1 ⋅   d → 2 = 8
  3. d → 1 + d → 2 ⋅ d → 2 = 33
  4. 1,6
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1.91b Os dois vetores A → e B → são desenhados a partir de um mesmo ponto e C → = A → + B → . b) Mostre que quando C 2A 2 + B ² ² , o ângulo entre os vetores é maior do que 90°.
1.91c Os dois vetores A → e B → são desenhados a partir de um mesmo ponto e C → = A → + B → . c) Mostre que quando C 2A 2 + B ² ² , o ângulo entre os vetores A →eB → está compreendido entre 0° e 90°.
1.86a - Para os vetores A →eB → desenhados na Figura 1.37, a) ache o produto escalar A → ⋅ B → .
1.95 Você tem os vetores A → = 5 , 0 i ^ - 6,5 j ^ e B → =- 3,5 i ^ + 7,0 j ^ . Um terceiro vetor C → está no plano xy. O vetor C → é ortogonal ao vetor A → , e o produto escalar de C → com B → é 15,0
1.91 Os dois vetores A → e B → são desenhados a partir de um mesmo ponto e C → = A → + B → a) Mostre que quando C 2 = A 2 + B ² ² , o ângulo entre os vetores A → e B → é 90°.